[論文レビュー] Cocycle and orbit superrigidity for lattices in SL(n,R) acting on homogeneous spaces

Sorin Popa, Stefaan Vaes|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、$ \operatorname{SL}(n,\mathbb{R})$ の格子が $ \mathbb{R}^n$ および特定のフラッグ多様体に作用する場合の、コycleおよび軌道同値性の超剛性を、作用の非特異的性質に関するジンマーの性質(T)と作用素代数的技法を用いて確立する。主な結果は、$n \geq 4$ のとき、$ \mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$ の、有限レブゴンスキー測度を持つ集合への制限が、性質(T)をもち、基本群が $ \mathbb{R}_+$ であるII$_1$同値関係をなすことである。さらに、任意の拡大 $ \mathcal{R}^t$ は、離散群の自由作用によって実現可能でない。

ABSTRACT

We prove cocycle and orbit equivalence superrigidity for lattices in SL(n,R) acting linearly on R^n, as well as acting projectively on certain flag manifolds, including the real projective space. The proof combines operator algebraic techniques with the property (T) in the sense of Zimmer for the action of SL(n,Z) on R^n, n \geq 4. We also show that the restriction of the associated orbit equivalence relation to a subset of finite Lebesgue measure, provides a II_1 equivalence relation with property (T) and yet fundamental group equal to R_+.

研究の動機と目的

• 格子の作用が同調空間に作用する幾何的作用に、作用素代数的技法を拡張する。
• $n \geq 5$ のとき、$\Gamma < \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ の線形的およびアフィン作用に対して、$\mathcal{U}_{\text{fin}}$-コycle超剛性を確立する。
• $\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$ の有限測度部分集合への制限が、基本群が $ \mathbb{R}_+$ で性質(T)をもつII$_1$同値関係をなすことの証明。
• このような同値関係の任意の拡大 $ \mathcal{R}^t$ が、離散群の自由作用によって実現可能でないことを示すこと。

提案手法

• ジンマーの非特異的性質(T)を用いて、無限測度空間へのポーパの $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-コycle超剛性フレームワークの適応。
• $n \geq 4$ のとき、$\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{R}^n$ が性質(T)をもち、$n \geq 5$ のとき4重対角作用がより強い混合性を示すこと。
• $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{R}^n$ の可測な断面を構成し、II$_1$同値関係を導出すること。
• ガウス過程の構成と$G$-不変な可測写像を用いて、軌道同値関係間の可測写像の剛性を証明すること。
• 仮定された性質(T)および混合性条件下で、任意の$\mathrm{Polish}$群の有限型の値をとる1-コycleは、群準同型にコhomologousであるという事実の利用。
• 連結群（例：$\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$）から離散群への非自明な群準同型が存在しないことを利用して、関連写像の定数性を強制すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-コycle超剛性は、$\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ の格子の確率測度保存でない作用へ拡張可能か？
• RQ2 $\Gamma < \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ のとき、$\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$ の有限測度部分集合への制限の基本群は何か？
• RQ3 このような制限の任意の拡大 $ \mathcal{R}^t$ が、離散群の自由作用によって実現可能か？
• RQ4 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{R}^n$ の軌道同値関係は、本質的に定数でない可測写像を他の作用へ持つのか？
• RQ5 可測写像 $\Delta: X_1 \to Y$ が、$\mathcal{R}$ 上ほとんど everywhere で $\Delta(x) \in \Lambda \cdot \Delta(y)$ を満たすとき、それが単一の$\Lambda$-軌道を通して因数分解するための条件は何か？

主な発見

• $n \geq 4$ のとき、$\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$ のレブゴンスキー測度1の集合への制限は、ジンマーの意味での性質(T)をもち、II$_1$同値関係をなす。
• このII$_1$同値関係の基本群は $ \mathbb{R}_+$ であり、これは任意の可換群の軌道同値関係と同型でないことを示す。
• $n \geq 5$ のとき、線形作用 $\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n$ は $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-コycle超剛性をもち、すべての1-コycleが群準同型にコhomologousである。
• $n \geq 5$ のとき、アフィン作用 $\Gamma \ltimes \mathbb{Z}^n \curvearrowright \mathbb{R}^n$ も $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-コycle超剛性をもつ。
• $n \geq 4k+1$ のとき、$G = (\Gamma \times H)/\{\pm(1,1)\}$ の $\mathrm{M}_{n,k}(\mathbb{R})$ への作用は $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-コycle超剛性をもつ。
• 制限された軌道同値関係の任意の拡大 $\mathcal{R}^t$ は、離散群の自由作用によって実現可能でない。これは、群が性質(T)をもっていなくても同様に成り立つ。