[論文レビュー] Cocycle Superrigidity and Group Actions on Stably Finite C*-Algebras

Eusebio Gardella, Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Operator Algebra Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、超有限型 II$_1$ 因子 $R$ 上のベルヌーイ移動におけるポッパのコycle超剛性を用いて、可算無限の性質 (T) 群 $\Lambda$ が無限型の UHF代数 $D$ 上に存在する、互いにコycle共役でない強外的作用の連続体の存在を確立する。主な結果は、このような作用の弱コycle共役類が関連するアーベル的 pro-$p$ 群 $G$ を完全に記憶しており、1次コホモロジー集合とその自然なペアリングを用いて再構成可能であることである。

ABSTRACT

Let $\Lambda $ be a countably infinite property (T) group, and let $D$ be UHF-algebra of infinite type. We prove that there exists a continuum of pairwise non (weakly) cocycle conjugate, strongly outer actions of $\Lambda $ on $D$. The proof consists in assigning, to any second countable abelian pro-$p$ group $G$, a strongly outer action of $\Lambda $ on $D$ whose (weak) cocycle conjugacy class completely remembers the group $G$. The group $G$ is reconstructed from the action via its (weak) 1-cohomology set endowed with a canonical pairing function. The key ingredient in this computation is Popa's cocycle superrigidity theorem for Bernoulli shifts on the hyperfinite II$_{1} $ factor $R$. Our construction also shows the following stronger statement: the relations of conjugacy, cocycle conjugacy, and weak cocycle conjugacy of strongly outer actions of $\Lambda $ on $D$ are complete analytic sets, and in particular not Borel. The same conclusions hold more generally when $\Lambda $ is only assumed to contain an infinite subgroup with relative property (T), and for actions on (not necessarily simple) separable, nuclear, UHF-absorbing, self-absorbing C*-algebras with at least one trace. Finally, we use the techniques of this paper to construct outer actions on $R$ with prescribed cohomology. Precisely, for every infinite property (T) group $\Lambda$, and for every countable abelian group $\Gamma$, we construct an outer action of $\Lambda$ on $R$ whose 1-cohomology is isomorphic to $\Gamma$.

研究の動機と目的

• 性質 (T) 群 $\Lambda$ が無限型 UHF代数 $D$ 上に、非可算個の互いにコycle共役でない強外的作用を構成すること。
• このような作用の弱コycle共役類が、関連する第二可算アーベル的 pro-$p$ 群 $G$ を完全に決定することを示すこと。
• このような作用における共役、コycle共役、弱コycle共役の関係が完全な解析的集合であることを証明し、したがって Borel でないことを示すこと。
• 相対的性質 (T) の下で、少なくとも1つのトレースを持つ、分離可能で、核的で、UHFを吸収し、自己吸収的である C*-代数上への結果の拡張。
• 任意の与えられた可算アーベル群 $\Gamma$ と同型な1次コホモロジーを持つ、超有限型 II$_1$ 因子 $R$ 上の外的作用の構成。

提案手法

• 第二可算アーベル的 pro-$p$ 群 $G$ をそれぞれの $\Lambda$ の $D$ 上の強外的作用に割り当てる。この構成は、$R$ 上のベルヌーイ移動におけるポッパのコycle超剛性にインspiredされている。
• 作用の1次コホモロジー集合上の自然なペアリングを用いて、弱コycle共役類から群 $G$ を再構成する。
• コホモロジー構造における剛性を保証するため、コホモロジー構造の中心的技術的要素として、$R$ 上のベルヌーイ移動におけるポッパのコycle超剛性定理を活用する。
• 作用の代数と群コホモロジーの技術を適用し、共役およびコycle共役の関係が完全な解析的集合であることを示す。
• 核的、UHF吸収性、自己吸収性の性質を満たすより一般的な C*-代数上への作用への構成の一般化。
• 制御されたコycle変形を用いて、コホモロジー的データを実現することで、任意の可算アーベル1次コホモロジーを持つ $R$ 上の外的作用を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 性質 (T) 群 $\Lambda$ が無限型 UHF代数 $D$ 上に、非可算個の互いにコycle共役でない強外的作用を構成できるか。
• RQ2 このような作用の弱コycle共役類が、関連するアーベル的 pro-$p$ 群 $G$ の構造をどの程度完全に記憶しているか。
• RQ3 $D$ 上の強外的作用における共役、コycle共役、弱コycle共役の関係は、Borel 可測であるか、それ以上の複雑さであるか。
• RQ4 超有限型 II$_1$ 因子 $R$ 上の外的作用の1次コホモロジーは、任意の与えられた可算アーベル群 $\Gamma$ として実現可能か。
• RQ5 相対的性質 (T) を持つ部分群は、安定有限 C*-代数上の作用の剛性にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 無限型 UHF代数 $D$ 上に、互いに（弱）コycle共役でない強外的作用の連続体が存在する。
• このような作用の弱コycle共役類は、その構成に用いられた第二可算アーベル的 pro-$p$ 群 $G$ を完全に記憶している。
• 作用の1次コホモロジー集合に自然なペアリングを導入することで、コホモロジー的データから $G$ を完全に再構成可能である。
• このような作用における共役、コycle共役、弱コycle共役の関係は完全な解析的集合であるため、Borel ではない。
• $\Lambda$ が無限大の部分群を相対的性質 (T) で持つ限り、結果は分離可能で、核的で、UHFを吸収し、自己吸収的である C*-代数上への作用に拡張可能である。
• 任意の無限大の性質 (T) 群 $\Lambda$ および任意の可算アーベル群 $\Gamma$ に対して、超有限型 II$_1$ 因子 $R$ 上に、1次コホモロジーが $\Gamma$ に同型である外的作用が存在する。