[論文レビュー] Codegree conditions for tiling complete $k$-partite $k$-graphs and loose cycles

Wei Gao, Jie Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$k$-部完全$k$-図形および$k$-一様超図形における完全$F$-タイリングのコードグラード条件を改善し、特に、頂点類のサイズ差が互いに素である場合に、Mycroftの誤差項に関する予想が多くの場合に誤りであることを、ラティスに基づく超図形構成による反例の構築によって示している。$K^{(k)}(1,\dots,1,2)$およびローツ・サイクルの漸近的・タイトなコードグラード閾値を確立し、これらのケースにおける正確な閾値を解明した。

ABSTRACT

Given two $k$-graphs ($k$-uniform hypergraphs) $F$ and $H$, a perfect $F$-tiling (or an $F$-factor) in $H$ is a set of vertex disjoint copies of $F$ that together cover the vertex set of $H$. For all complete $k$-partite $k$-graphs $K$, Mycroft proved a minimum codegree condition that guarantees a $K$-factor in an $n$-vertex $k$-graph, which is tight up to an error term $o(n)$. In this paper we improve the error term in Mycroft's result to a sub-linear term that relates to the Turán number of $K$ when the differences of the sizes of the vertex classes of $K$ are co-prime. Furthermore, we find a construction which shows that our improved codegree condition is asymptotically tight in infinitely many cases thus disproving a conjecture of Mycroft. At last, we determine exact minimum codegree conditions for tiling $K^{(k)}(1, \dots, 1, 2)$ and tiling loose cycles thus generalizing results of Czygrinow, DeBiasio, and Nagle, and of Czygrinow, respectively.

研究の動機と目的

• 頂点類サイズの差が互いに素である場合に、$F$-タイリングにおけるMycroftのコードグラード条件の誤差項を$o(n)$から、トーラン数に関連する非線形項に改善すること。
• コードグラード閾値における誤差項が、$F$にのみ依存する絶対定数で抑えられるというMycroftの予想が、すべての完全$k$-部$k$-図形に対して成り立つかどうかを検証すること。
• $K^{(k)}(1,\dots,1,2)$およびローツ・サイクルのタイリングにおける最小コードグラード閾値を正確に特定すること。
• Mycroftのコードグラード条件を満たすが$F$-ファクターを含まない超図形の構築により、新たな境界のタイトさを示すこと。

提案手法

• コードグラードが$(1-o(1))\sqrt{n}$で、$K^{(k)}(1,\dots,1,2,2)$-フリーである部分グラフ$G$を用いて、古典的なスペース・バリアを強化した一般化された空間バリアを構築すること。
• $V_1,\dots,V_p$という分割上に定義されたラティスに基づく$k$-超図形$H_p$と、この$G$を組み合わせること。ここで、$H_p$の辺は部分格子$L \subset \mathbb{Z}_p^p$に属するインデックス・ベクトルに対応する。
• 任意のベクトル$\mathbf{v} \in \mathbb{Z}_p^p$に対して、ちょうど一つの平行移動$\mathbf{v} + \mathbf{u}_i$が$L$に属することを用いて、結合されたグラフ内での混合部$K$のコピーを防ぐこと。
• 結合されたグラフ$H$内の$K$の任意のコピーは、必ず一つの$V_i$に完全に含まれることを示し、これにより$H_p$に起因するコードグラード下限を引き継ぎつつ、$H_p$の設計により$K$-ファクターを回避できることを示すこと。
• 部屋が複数の$V_i$と交差する場合、$K^{(k)}(1,\dots,1,2,2)$-部分グラフが出現する必要があることを、鳩の巣原理を用いて示すこと。これは$G$-フリー性に反する。
• $H_p$の構造と$G$-フリー性を組み合わせて、$\delta_{k-1}(H) \geq n/p + (1-o(1))\sqrt{n}/p$を満たすが$K$-ファクターを含まない$H$が存在することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点類サイズの差が互いに素である場合に、$F$-タイリングにおけるMycroftのコードグラード条件の誤差項を$o(n)$から非線形項に改善できるか？
• RQ2 コードグラード閾値における誤差項が、$F$にのみ依存する絶対定数で抑えられるというMycroftの予想は、すべての完全$k$-部$k$-図形に対して成り立つか？
• RQ3 $k$-図形における$K^{(k)}(1,\dots,1,2)$のタイリングにおける正確な最小コードグラード閾値は何か？
• RQ4 $k$-図形におけるローツ・サイクルのタイリングにおける正確な最小コードグラード閾値は何か？
• RQ5 ラティスに基づく構成を用いて、高いコードグラードだが$F$-ファクターを含まない超図形を生成し、予想された閾値を反証できるか？

主な発見

• 頂点類サイズの差が互いに素である場合、$K^{(k)}(a_1,\dots,a_k)$-タイリングにおけるMycroftのコードグラード条件の誤差項は$o(n)$から$O(\sqrt{n})$に改善された。
• コードグラードが$(1-o(1))\sqrt{n}$で$K^{(k)}(1,\dots,1,2,2)$-フリーである$k$-超図形$G$の構築により、古典的空間バリアを上回る強力な空間バリアが得られた。
• $K^{(k)}(1,\dots,1,2)$の場合は、正確な最小コードグラード閾値が$\left(\frac{1}{k} + o(1)\right)n$であることが特定され、Mycroftの結果からの漸近的境界と一致した。
• 本論文は、$K^{(k)}(a_1,\dots,a_k)$がタイプ$d \neq 1$で$a_{k-2} \geq p+1$（$p$は$d$の最小素因数）である場合、誤差項が定数で抑えられないことを示し、Mycroftの予想を反証した。
• 結合超図形$H = H_p \cup G$はコードグラード$\delta_{k-1}(H) \geq n/p + (1-o(1))\sqrt{n}/p$を満たすが$K$-ファクターを含まないため、閾値の漸近的タイトさが証明された。
• ローツ・サイクルの場合は、正確な最小コードグラード閾値が$\left(\frac{1}{k} + o(1)\right)n$であることが特定され、$C_2^3$に関する先行研究を一般化した。