[論文レビュー] Codes With Hierarchical Locality

Birenjith Sasidharan, Gaurav Kumar Agarwal+1 more|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Jan 27, 2015

Advanced Data Storage Technologies参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、分散ストレージシステムにおける効率的なローカル復旧を可能にする階層的ローカリティを備えたコードを導入し、マルチレベルコード構造により複数のエラーを復旧可能にしている。最小距離に対する上界を導出し、二段階および任意の段階の階層的コードに対する最適構成を提示しており、従来のピラミッドコードなどと比較して低フィールドサイズと向上した復旧効率を実現している。

ABSTRACT

In this paper, we study the notion of {\em codes with hierarchical locality} that is identified as another approach to local recovery from multiple erasures. The well-known class of {\em codes with locality} is said to possess hierarchical locality with a single level. In a {\em code with two-level hierarchical locality}, every symbol is protected by an inner-most local code, and another middle-level code of larger dimension containing the local code. We first consider codes with two levels of hierarchical locality, derive an upper bound on the minimum distance, and provide optimal code constructions of low field-size under certain parameter sets. Subsequently, we generalize both the bound and the constructions to hierarchical locality of arbitrary levels.

研究の動機と目的

• 分散ストレージシステムにおける複数エラーからの効率的ローカル復旧の課題に取り組むこと。特に、従来のコードでは高い復旧帯域幅や復旧次数を要する問題を解決すること。
• 単一エラー復旧にとどまらず、複数段階のローカルコードを備えた階層的構造を導入することで、ローカリティの概念を一般化すること。
• h段階階層的ローカリティを備えたコードの最小距離に対するタイトな上界を導出し、理論的最適性を保証すること。
• 特定のパrameter制約下で低フィールドサイズを実現する明示的かつ最適なコードを構成し、実用的導入を可能にすること。
• 二段階構成を任意のh段階階層的コードに一般化し、最適性と復旧効率を維持すること。

提案手法

• 各シンボルが、冗長性と保護が段階的に増加するネストされたローカルコードの系列によって保護される階層的コード構造を提案する。
• 各段階でのサポートサイズと最小距離に基づく再帰的ランク蓄積論法を用いて、最小距離に対する上界を導出する。
• ランク蓄積ローカルコードを段階全体にわたって特定するための深さ優先探索アルゴリズムを用い、上界がタイトであることを保証する。
• 有限体上の乗法的群の部分群を用いてコードを構成し、$ n_h \mid n_{h-1} \mid \cdots \mid n $ および $ n_i \mid (p^m - 1) $ の可除性条件を満たすようにする。
• 最適性の条件を確立する：$ r_h \mid r_{h-1} \mid \cdots \mid r_1 \mid k $ であるか、ブロック長、ローカル距離、およびコード次元の間の特定の関係が成り立つこと。
• 有限体 $ \mathbb{F}_{p^m}^* $ 内の部分群の鎖からコセットツリーを再帰的に構築することで、h段階階層的コードへの構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 h段階階層的ローカリティを備えた線形コードの最小距離として、最大でどの程度の値が達成可能か？
• RQ2 低フィールドサイズや可除性条件といった実用的制約下で、階層的ローカリティを備えた最適コードをどのように構成できるか？
• RQ3 階層的ローカリティを用いることで、ピラミッドコードなどの既存コードと比較して、複数エラーの復旧効率を顕著に向上させられるか？
• RQ4 階層的ローカリティを備えたコードが導出された距離上界に到達するための必要十分条件は何か？
• RQ5 階層的構造は、従来のコードと比較して、復旧次数を低減させながら複数エラーのローカル復旧をどのように可能にするか？

主な発見

• h段階階層的ローカリティを備えたコードの最小距離に対する上界が導出され、二段階コードに対する既存結果を一般化している。
• 二段階階層的コードの場合、上界は $ d \leq \left(\sum_{i=1}^{h-1} (\lceil k/r_i \rceil - 1)(d_i - d_{i+1}) \right) + (\lceil k/r_h \rceil - 1)(d_h - 1) + 1 $ であり、特定の条件下で等号が成立する。
• 低フィールドサイズを実現する二段階コードの最適構成が提供され、$ r_2 \mid r_1 \mid k $ または特定の長さと次元の制約を満たす場合に上界に到達する。
• 有限体 $ \mathbb{F}_{p^m}^* $ 内の部分群の鎖を用いてh段階コードへの構成が一般化され、$ n_h \mid n_{h-1} \mid \cdots \mid n $ および $ n_i \mid (p^m - 1) $ を満たすように保証される。
• 二段階ローカリティを備えた $[24,14,6]$-コードは、二重エラーの場合にWindows Azureコードの12から8に復旧次数を低減し、実用的効率の向上を示している。
• 本手法により、単一エラーの復旧は $ r_2 = 3 $ 個のシンボルのみで実現可能であり、Azureコードの $ r = 6 $ と比較して、著しく復旧ローカリティが向上している。