[論文レビュー] Codimension two holomorphic foliations

Dominique Cerveau, Alcides Lins Neto|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素多様体上のcodimension twoの正則foliationおよび分布の研究を行い、局所的および大域的性質に注目する。完全交差の安定性を証明し、任意のcodimension one foliationに含まれないfoliationの存在を示している。主な結果として、原点に孤立特異点をもつ$\mathbb{C}^4$上でのcodimension twoのfoliationを定義する同次2形式は存在できない。このような特異点集合は直線を含む必要があり、次元が1以上でなければならない。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of codimension two holomorphic foliations and distributions. We prove the stability of complete intersection of codimension two distributions and foliations in the local case. Converserly we show the existence of codimension two foliations which are not contained in any codimension one foliation. We study problems related to the singular locus and we classify homogeneous foliations of small degree.

研究の動機と目的

• 複素多様体上でのcodimension twoの正則foliationおよび分布の局所的・大域的構造を理解すること。
• codimension twoのfoliationが、codimension oneのfoliationに含まれるかどうかを調査すること。
• とくに、$\mathbb{C}^4$上での同次2形式によって定義されるcodimension twoのfoliationにおける特異点集合の性質を分析すること。
• 特に次数0, 1, 2の同次codimension twoのfoliationを分類すること。
• homogeneous 2-formによって定義されるcodimension twoのfoliationが原点に孤立特異点をもつための条件を特定すること。

提案手法

• 正則$q$-形式$\eta$が局所的に分解可能で、Frobeniusの積分可能性条件を満たすことで、局所的な定義を用いる。
• Malgrangeの特異Frobenius定理を適用し、完全交差構成における第一積分の保存性を確立する。
• 可積分な1形式の外積を用いて、codimension oneのfoliationの交わりとしてcodimension twoのfoliationを構成する。
• Lie微分によるベクトル場の不変性と対称性を用いて、$\mathbb{C}^4$上での同次2形式の特異点集合を分類する。
• 座標変換と引き戻しを用い、問題を低次元の形式に還元し、ある$\Phi$に対して$\eta = \Phi^*(\widetilde{\eta})$が成り立つことを示す。
• 非共鳴条件と積分因子を用いて、ベクトル場を線形化し、一般の場合に大域的線形化可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{C}^4$上でのcodimension twoの正則foliationが原点に孤立特異点をもつことは可能か？
• RQ2 任意のcodimension twoのfoliationは、局所的にcodimension oneの分布の完全交差として構成可能か？
• RQ3 任意のcodimension one foliationに含まれないcodimension twoのfoliationは存在するか？
• RQ4 同次2形式が$\mathbb{C}^4$上でのcodimension twoのfoliationを定義する場合、その特異点集合の構造はいかなるものか？
• RQ5 次数が小さい同次codimension twoのfoliationはどのように分類できるか？

主な発見

• 原点に特異点をもつ同次2形式によって定義される$\mathbb{C}^4$上でのcodimension twoのfoliationは、特異点集合が孤立していられない。特異点集合には常に正次元の成分が含まれる。
• このようなfoliationの特異点集合は、常に少なくとも1つの複素直線を含むため、$\dim \operatorname{Sing}(\eta) \geq 1$が成り立つ。
• codimension oneの分布の完全交差として構成されたcodimension twoのfoliationは、定義形式が自然な非退化性条件を満たす限り、小さな変形に対して安定である。
• codimension oneのfoliationに含まれないcodimension twoのfoliationは、局所的または有理多様体上でも存在する。
• 次数0, 1, 2の同次codimension twoのfoliationの分類は、そのようなfoliationの空間の既約成分への分解に対応する。
• 非共鳴な線形部をもつ一般の場合、関連するベクトル場は二次の座標変換により大域的に線形化可能であり、大域的積分因子の存在を示唆する。