[論文レビュー] Coding for Computing Irreducible Markovian Functions of Sources with Memory

Sheng Huang, Mikael Skoglund|arXiv (Cornell University)|May 25, 2013

Wireless Communication Security Techniques参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、記憶付きソースの非可約マルコフ関数を計算するために有限環上の線形符号化を提案し、多項式構造を活用して暗黙的な協調を実現する。非可換環が有限体よりも普遍的に達成可能なレート領域を上回ることを示し、非定常状況下でも線形符号化が環上で有限体よりも厳密に最適であることを証明する。

ABSTRACT

One open problem in source coding is to characterize the limits of representing losslessly a non-identity discrete function of the data encoded independently by the encoders of several correlated sources with memory. This paper investigates this problem under Markovian conditions, namely either the sources or the functions considered are Markovian. We propose using linear mappings over finite rings as encoders. If the function considered admits certain polynomial structure, the linear encoders can make use of this structure to establish "implicit collaboration" and boost the performance. In fact, this approach universally applies to any scenario (arbitrary function) because any discrete function admits a polynomial presentation of required format. There are several useful discoveries in the paper. The first says that linear encoder over non-field ring can be equally optimal for compressing data generated by an irreducible Markov source. Secondly, regarding the previous function-encoding problem, there are infinitely many circumstances where linear encoder over non-field ring strictly outperforms its field counterpart. To be more precise, it is seen that the set of coding rates achieved by linear encoder over certain non-field rings is strictly larger than the one achieved by the field version, regardless which finite field is considered. Therefore, in this sense, linear coding over finite field is not optimal. In addition, for certain scenarios where the sources do not possess the ergodic property, our ring approach is still able to offer a solution.

研究の動機と目的

• 記憶付きの相関するソースの離散関数を計算するための符号化レート領域を特徴づけること。
• 有限環上の線形符号化が有限体上のそれよりも関数計算において優れているかどうかを調査すること。
• 環に基づく線形符号化が体に基づくものよりも厳密に大きなレート領域を達成する条件を確立すること。
• 関数の多項式表現を活用することで、非定常的かつマルコフ的ソースへのソース符号化理論を拡張すること。
• 任意の離散関数に対して多項式表現を用いて、環に基づく線形符号化の普遍性と最適性を示すこと。

提案手法

• 著者らは、離散関数の多項式構造を活用して符号器間の暗黙的協調を可能にする有限環上の線形写像を符号器として用いる。
• 任意の離散関数を有限環上の多項式として表現し、関数的依存関係を捉える構造化された符号化を可能にする。
• ソース過程の非可約性とマルコフ性を活用して典型系列とエントロピーの上限を定義する。
• マルコフ過程の同時典型性とエントロピー率を分析することで、典型集合のサイズに対する上限を導出し、レート領域の特徴づけを実現する。
• 有限体と非体環の両方における達成可能なレート領域を比較し、無限に多くの場合で環に基づく領域が厳密に大きいことを証明する。
• エントロピー率の分解とマルコフ仮定下での典型系列解析に依拠し、ブロックエントロピーの極限を用いてソースの不確実性を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限環上の線形符号化は、記憶付きソースの関数計算において、有限体上のそれよりも優れた性能を達成できるか？
• RQ2 非体環上の線形符号化の達成可能なレート領域が、いかなる有限体よりも厳密に大きい状況は存在するか？
• RQ3 提案された環に基づく符号化アプローチは、非定常的マルコフ的ソースに対しても有効であるか？
• RQ4 すべての離散関数を環に基づく線形符号化に適した多項式形式で表現できるか？
• RQ5 関数の構造と非体環を用いることで得られる性能向上の関係は何か？

主な発見

• 非可換有限環上の線形符号化は、非可約マルコフソースからのデータ圧縮において、有限体上のそれと同等に最適である。
• 無限に多くの状況において、非可換有限環上の線形符号化がいかなる有限体よりも厳密に優れ、より大きな達成可能なレート領域を達成する。
• 特定の非可換有限環上の線形符号化器を用いた達成可能な符号化レートの集合は、いかなる有限体よりも厳密に大きいことが示され、体に基づく符号化が一般には最適でないことを証明する。
• 有限環上での多項式表現の存在により、本手法は任意の離散関数に普遍的に適用可能である。
• ソースが定常性を欠いても、本手法は有効であり、標準的なスレピアン＝ウォルフの仮定を越えて適用範囲を拡張する。
• 典型系列解析を用いてソース過程のエントロピー率を上限付けし、非定常状況ではSlepian–Wolfの内側境界よりもタイトなレート領域が得られることを示す。