[論文レビュー] Coding Theorems for Repeat Multiple Accumulate Codes

Jörg Kliewer, Kamil Sh. Zigangirov+2 more|ArXiv.org|Oct 19, 2008

Error Correcting Code Techniques参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、均一インタリーブアプローチを用いて、繰り返し多重蓄積（RMA）コードの漸近的最小距離増加を分析する。1/3未満のレートに対しては、2つ以上の蓄積器を持つRMAコードが、漸近的に線形の最小距離増加を達成し、ギルバート＝ヴァルシャモフ境界に近づくことを証明する。ランダムなパunctionを用いることで、高レートコードですら近似的に最適な距離増加を達成する。

ABSTRACT

In this paper the ensemble of codes formed by a serial concatenation of a repetition code with multiple accumulators connected through random interleavers is considered. Based on finite length weight enumerators for these codes, asymptotic expressions for the minimum distance and an arbitrary number of accumulators larger than one are derived using the uniform interleaver approach. In accordance with earlier results in the literature, it is first shown that the minimum distance of repeat-accumulate codes can grow, at best, sublinearly with block length. Then, for repeat-accumulate-accumulate codes and rates of 1/3 or less, it is proved that these codes exhibit asymptotically linear distance growth with block length, where the gap to the Gilbert-Varshamov bound can be made vanishingly small by increasing the number of accumulators beyond two. In order to address larger rates, random puncturing of a low-rate mother code is introduced. It is shown that in this case the resulting ensemble of repeat-accumulate-accumulate codes asymptotically achieves linear distance growth close to the Gilbert-Varshamov bound. This holds even for very high rate codes.

研究の動機と目的

• 有限個の蓄積器を持つ繰り返し多重蓄積（RMA）コードの漸近的最小距離挙動を特徴づけること。
• RMAコードがブロック長に対して漸近的に線形の最小距離増加を達成できるかどうかを特定すること。
• 蓄積器の数を増やすこと、またはランダムなパunctionを用いることで、ギルバート＝ヴァルシャモフ境界とのギャップを最小化できるかどうかを調査すること。
• 従来の有限長解析を漸近的領域に拡張し、最小距離増加率係数について厳密な解析的表現を提供すること。

提案手法

• すべての可能なインタリーブを平均化できる均一インタリーブアプローチを用い、集合の重みスペクトルの漸近的解析を可能にする。
• RMAコードの有限長重み列挙子を導出し、スターリングの公式およびエントロピー関数を用いた漸近的近似を適用する。
• 最小距離とその成分の相対的サイズに基づいて4つの異なる重み分布のケースを分析し、確率的バウンドを用いる。
• エントロピーに基づく表現および対数近似を用いて、低重みコード語の期待数を評価し、特定の条件下で0に収束することを示す。
• 最後の蓄積器の出力にランダムなパunctionを導入し、高レートコードの構築を可能にするとともに、良好な距離特性を維持する。
• 関数 $ F_ ho(eta) = \beta\bar{H}(2) + H\big(\frac{\rho - \beta/2}{1 - \beta}\big)(1 - \beta) - H(\rho) $ を用いて、低重みコード語の減衰率を分析し、期待値の漸近的消滅を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レート $ R \to 1/3 $ またはそれ以下の繰り返し蓄積蓄積（RAA）コードは、ブロック長に対して漸近的に線形の最小距離増加を達成できるか？
• RQ2 2つより多い有限個の蓄積器を持つRMAコードの漸近的最小距離増加率係数は何か？
• RQ3 蓄積器の数が増加するに従い、最小距離増加率とギルバート＝ヴァルシャモフ境界とのギャップはどのようにスケーリングするか？
• RQ4 低レートのRMAモザイクコードに対するランダムパunctionにより、ギルバート＝ヴァルシャモフ境界に近い漸近的線形距離増加を達成する高レートコードが得られるか？
• RQ5 ブロック長が無限大に近づく際、RMA集合における低重みコード語の期待数が消える条件は何か？

主な発見

• レート $ R \to 1/3 $ またはそれ以下の繰り返し蓄積蓄積（RAA）コードでは、最小距離がブロック長に対して漸近的に線形に増加する。
• 2つを超える蓄積器の数を増やすことで、最小距離増加率係数とギルバート＝ヴァルシャモフ境界とのギャップを任意に小さくできる。
• レート $ R = 1/3 $ および $ R = 1/4 $ の場合、RAAAコード集合は最小距離増加率係数がギルバート＝ヴァルシャモフ境界と一致する。
• 低レートのRMAモザイクコードに対するランダムパunctionにより、高レートのRAAコードがギルバート＝ヴァルシャモフ境界に近い漸近的線形最小距離増加を達成する。
• ブロック長が増加するに従い、集合内の低重みコード語の期待数は0に収束するが、これはエントロピーに基づく関数 $ F_\rho(\beta) $ が負である場合に成立し、$ \rho < 1/2 $ および $ \beta \neq 1 $ のとき成り立つ。
• 漸近的解析により、標準的な繰り返し蓄積（RA）コードでは最小距離が部分線形に増加するが、十分な数の蓄積器を持つRAAおよびRAAAコードでは線形に増加することが確認された。