[論文レビュー] Coefficient Conditions for Harmonic Univalent Mappings and Hypergeometric Mappings

S. V. Bharanedhar, Saminathan Ponnusamy|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2011

Analytic and geometric function theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ガウス超幾何関数を用いて明示的な例を構成することで、調和的単一値写像が近接凸的および完全星型であるための係数条件を確立する。テイラー係数のℓ¹ノルムの推定を用いた十分条件を提示し、近接凸的および星型調和多項式の新たなクラスを導出する。

ABSTRACT

In this paper, we obtain coefficient criteria for a normalized harmonic function defined in the unit disk to be close-to-convex and fully starlike, respectively. Using these coefficient conditions, we present different classes of harmonic close-to-convex (resp. fully starlike) functions involving Gaussian hypergeometric functions. In addition, we present a convolution characterization for a class of univalent harmonic functions discussed recently by Mocanu, and later by Bshouty and Lyzzaik in 2010. Our approach provide examples of harmonic polynomials that are close-to-convex and starlike, respectively.

研究の動機と目的

• 単位円板内の正規化された調和関数が近接凸的または完全星型であることを保証する係数基準を導出すること。
• 星型性に関する古典的な解析的係数条件（例：星型性のためのもの）を、調和的設定に拡張すること。
• ガウス超幾何関数を用いて、近接凸的または完全星型である明示的な調和多項式の族を構成すること。
• 最近モカヌおよびブシューティ–リッツァイクが研究した単一値調和関数のクラスについて、畳み込み（コントボリューション）による特徴付けを提供すること。
• 超幾何積分で定義される特定の調和写像が、クラス $\mathcal{C}_H^1$ および $\mathcal{S}_H^{*0}$ に属することを示すこと。

提案手法

• 解析的部および共解析的部のテイラー係数の $\ell^1$-ノルムを用いて十分な係数条件を導出する。
• 補題 A を適用する。ここで、$\sum n|a_n| + \sum n|b_n| \leq 1$ ならば、$f = h + \overline{g} \in \mathcal{C}_H^1$ である。
• ガウス超幾何関数 $F(a,b;c;z)$ の積分表現を用いて、共解析的部 $g(z)$ を定義する。
• 恒等式 $abF(a+1,b+1;c+1;z) = cF'(a,b;c;z)$ を用いて、超幾何積分と係数表現を関連付ける。
• 既知の超幾何関数の恒等式および特殊関数の不等式（例：ガンマ関数を含むもの）を用いて、係数和の上界を求める。
• 畳み込み（ハダマール積）技法を用いて、単一値調和写像を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和関数のテイラー級数における係数条件は、どのようなものであれば単位円板内で近接凸的であると保証されるか？
• RQ2 星型性のための係数条件は、解析的関数から調和写像へ拡張可能か、特に完全星型写像に関しては？
• RQ3 ガウス超幾何関数を用いて定義される調和多項式のどのクラスが単一値的かつ近接凸的か？
• RQ4 単一値調和関数の畳み込み特徴付けは、どのように新しい例の構成に応用できるか？
• RQ5 超幾何積分で定義される調和写像が $\mathcal{C}_H^1 \cap \mathcal{S}_H^{*0}$ に属するためのパrameter制約は何か？

主な発見

• 係数条件 $\sum_{n=2}^\infty n|a_n| + \sum_{n=1}^\infty n|b_n| \leq 1$ が成り立つならば、$f = h + \overline{g} \in \mathcal{C}_H^1$ である。これは近接凸的調和写像のクラスである。
• 関数 $f(z) = z + \overline{\alpha \int_0^z F(a,b;c;t)\,dt}$ に対して、$|\alpha| \leq \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$ かつ $c > \mathrm{Re}(a+b)$ ならば、$f \in \mathcal{C}_H^1$ である。
• 写像 $f(z) = z + \overline{\alpha c/(ab) [F(a,b;c;z) - 1]}$ は、$|\alpha| \leq \frac{\Gamma(c+1)\Gamma(c-a-b-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$ かつ $c > \mathrm{Re}(a+b)+1$ ならば $\mathcal{C}_H^1$ に属する。
• 関数 $f(z) = z + \overline{[\alpha c/(ab)] z (F(a,b;c;z) - 1)}$ に対して、$|\alpha| \frac{\Gamma(c+1)\Gamma(c-a-b-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \left(1 + \frac{c-a-b-1}{ab}\right) \leq 1 + \left|\alpha\right| \frac{c}{ab}$ が成り立つならば、$f \in \mathcal{C}_H^1 \cap \mathcal{S}_H^{*0}$ であり、完全星型である。
• 関数 $f(z) = z + \overline{\alpha z^k \sum_{n=0}^m \binom{m}{n} \frac{(m-n+1,n)}{(c,n)} \frac{z^{n+1}}{n+1}}$ に対して、$k \in \{0,1\}$ であるとき、$c$ および $|\alpha|$ に関する十分条件が、$\mathcal{C}_H^1$ もしくは $\mathcal{C}_H^1 \cap \mathcal{S}_H^{*0}$ への属性を保証する。
• 例：$m=2$ の場合、$c \geq \frac{24|\alpha| - 3 + \sqrt{-48|\alpha|^2 + 168|\alpha| + 9}}{6(1 - 2|\alpha|)}$ かつ $0 < |\alpha| < 1/2$ ならば、$f(z) = z + \overline{\alpha (z^2 + \frac{2}{c}z^3 + \frac{2}{c(c+1)} \frac{z^4}{3})} \in \mathcal{C}_H^1 \cap \mathcal{S}_H^{*0}$ である。