[論文レビュー] Coefficient systems and supersingular representations of $GL_2(F)$

Vytautas Paškūnas|ArXiv.org|Mar 15, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、ブラハット＝ティツツリーとホモロジーを用いて、$ \mathrm{GL}_2(F) $ の $ \overline{\mathbf{F}}_p $ 上の、互いに非同型で、既約かつ超特異的で、適切な表現を、$ q(q-1)/2 $ 個構成する。$ \varpi_F $-作用が自明で、中心的特徴が存在する。$ F = \mathbf{Q}_p $ のとき、この構成は、非分岐 quasi-character による twist を除いて、すべての such 超特異表現を再現し、$ p $ を法とするラングランズ型対応を支持する。

ABSTRACT

Let $F$ be a non-Archimedean local field with the residual characteristic $p$. We construct a "good" number of smooth irreducible $\bar{\mathbf{F}}_p$-representations of $GL_2(F)$, which are supersingular in the sense of Barthel and Livné. If $F=\mathbf{Q}_p$ then results of Breuil imply that our construction gives all the supersingular representations up to the twist by an unramified quasi-character. We conjecture this is true for arbitrary $F$.

研究の動機と目的

• 非アーケメデス的局所体 $ F $ の残渣特性が $ p $ であるとき、$ \mathrm{GL}_2(F) $ の $ \overline{\mathbf{F}}_p $ 上の新しい族の既約超特異的滑らか表現を構成すること。
• ブレウの $ \mathbf{Q}_p $ における超特異的表現の分類を一般の $ F $ に拡張し、$ p $ を法とするラングランズ型対応を予想すること。
• ブラハット＝ティツツリー上の $ G $-可換係数系とそのホモロジーを用いた、これらの表現の幾何的構成を確立すること。
• 構成された表現の $ I_1 $-不変部分空間が、超特異的 $ \mathcal{H} $-加群を回復することを示し、表現論とヘッケ代数を結びつけること。

提案手法

• ブラハット＝ティツツリー $ X $ の $ \mathrm{PGL}_2(F) $ に対して、$ \gamma = \{ \chi, \chi^s \} $ でインデックスされる $ G $-可換係数系 $ \mathcal{V}_\gamma $ と $ \mathcal{I}_\gamma $ を構成する。ここで $ \chi $ は $ F^\times $ の $ \overline{\mathbf{F}}_p^\times $-指標で、$ \chi^s \neq \chi $ を満たす。
• 0次ホモロジー関手 $ H_0(X, -) $ を用いて、これらの係数系から滑らかな $ G $-表現を生成する。
• $ \Gamma = \mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_q) $ の $ \mathcal{H}_{\Gamma} $-加群の単射包を定義し、それらを $ X $ 上の $ G $-可換図式に持ち上げ、$ G $-作用と整合性を持つようにする。
• 係数系の準同型 $ \mathcal{V}_\gamma \to \mathcal{I}_\gamma $ を構成し、ホモロジーに誘導される準同型を定める。その像 $ \pi_\gamma = \mathrm{Im}(H_0(X,\mathcal{V}_\gamma) \to H_0(X,\mathcal{I}_\gamma)) $ は既約かつ超特異的である。
• $ H_0(X,\mathcal{V}_\gamma) $ 上の作用を分析することで、$ \pi\_\gamma $ が適切で、中心的特徴を持ち、$ \varpi_F $ が自明に作用することを示す。
• 非同型の $ \mathcal{H} $-加群が非同型の $ \pi_\gamma $ を与え、$ F = \mathbf{Q}_p $ のとき、この構成は、非分岐 quasi-character による twist を除いて、すべての超特異的表現を再現することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ F $ に対して、$ \varpi_F $-作用が自明で、中心的特徴を持つ、$ \mathrm{GL}_2(F) $ の $ \overline{\mathbf{F}}_p $ 上の、$ q(q-1)/2 $ 個の互いに非同型な既約超特異的適切表現を構成できるか。
• RQ2 この構成は、特に $ F = \mathbf{Q}_p $ のとき、非分岐 quasi-character による twist を除いて、すべての超特異的表現を再現するか。
• RQ3 ブラハット＝ティツツリー上の係数系とそのホモロジーは、$ I_1 $-不変部分空間とヘッケ代数 $ \mathcal{H} $ とどのように関係するか。
• RQ4 $ X $ 上の $ G $-可換図式を用いた、超特異的 $ \mathcal{H} $-加群の幾何的実現は、既約な $ G $-表現を導くか。
• RQ5 $ \pi_\gamma^{I_1} $ の $ \mathcal{H} $-加群構造が超特異的加群として特定可能であり、表現が超特異的であることを保証できるか。

主な発見

• 構成は、$ \overline{\mathbf{F}}_p $ 上の $ \mathrm{GL}_2(F) $ の、$ q(q-1)/2 $ 個の互いに非同型で、既約かつ超特異的で、適切な表現を少なくとも得る。各表現は $ \varpi_F $-作用が自明で、中心的特徴を持つ。
• $ F = \mathbf{Q}_p $ のとき、構成された表現 $ \pi_\gamma $ は補助的選択に依存せず、非分岐 quasi-character による twist を除いて、すべての超特異的表現を尽くす。
• 各 $ \pi_\gamma $ はホモロジー準同型 $ H_0(X,\mathcal{V}_\gamma) \to H_0(X,\mathcal{I}_\gamma) $ の像として得られ、適切で、既約かつ超特異的である。
• $ I_1 $-不変部分空間 $ \pi_\gamma^{I_1} $ には超特異的 $ \mathcal{H} $-加群が含まれており、$ \pi_\gamma $ の超特異的性を確認する。
• $ F = \mathbf{Q}_p $ のとき、このような表現の同型類の数はブレウの分類と一致し、この場合に構成が完全であることを示唆する。
• $ \pi_\gamma \cong \pi_{\gamma'} \otimes (\mu_\lambda \circ \det) $ となるのは、$ \gamma = \gamma' $ かつ $ \lambda $ が符号を除いて一意のときのみであり、分類の一意性を示す。