[論文レビュー] Cofibrance and Completion

Andrei Rădulescu-Banu|ArXiv.org|Dec 8, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、モデル圏における三重にに関するボウスフィールド＝カーン完成関手を構成する。これは、小さな対象の操作から導かれるコクォーツィエントリプレースメント関手の対角構造を活用する。指摘されたように、Dwyer、Kan、Hirschhornによるホモトピー極限と関数複体の可換性の結果を用いて、点付きモデル圏における完成の相対ホモトピー群を計算するボウスフィールド＝カーンスペクトル系列を確立する。

ABSTRACT

For a cofibrantly generated Quillen model category, we show that the cofibrant replacement functor constructed using the small object argument admits a cotriple structure. If all acyclic cofibrations are monomorphisms, the fibrant replacement functor constructed using the small object argument admits a triple structure. For a triple in the base category, the associated cosimplicial resolution is not necessarily homotopy invariant. However using a mix of the triple with the cofibrant replacement cotriple we construct a 'homotopically correct' version of the cosimplicial resolution of the triple. This allows us to construct a Bousfield-Kan completion functor with respect to a triple, and for pointed cofibrantly-generated model categories a Bousfield-Kan spectral sequence that computes the relative homotopy groups of the Bousfield-Kan completion of an object. This is the text of my PhD thesis, worked under the supervision of Prof. Haynes Miller, submitted on Feb. 1999 at MIT.

研究の動機と目的

• 単体的集合から任意のモデル圏へのボウスフィールド＝カーン完成の一般化（三重を用いて）。
• 古典的な単体的アプローチが再帰的ファイブラシーの欠如によって失敗するモデル圏において、ホモトピー理論的に整合性のとれた完成関手を確立すること。
• 点付きモデル圏における完成の相対ホモトピー群を計算するボウスフィールド＝カーンスペクトル系列を構成すること。
• 小さな対象の操作から得られるコクォーツィエントリプレースメント関手が対角を備えることを示すこと。
• （アセイクリックファイブレーションが単射的であるという）弱い条件下で、ファイブレーション補完関手を余対角を備えたものに修正できることを示し、計算の効率と構造を改善すること。

提案手法

• 小さな対象の操作を用いて、対角を備えたコクォーツィエントリプレースメント関手を構成し、コサイミプレクス構造と整合性を保証する。
• 三重 (R, ν, M) に関連する標準的なボウスフィールド＝カーンコサイミプレクス解体構成を適用し、モデル圏内のコサイミプレクス対象を形成する。
• Dwyer、Kan、Hirschhornの結果（ホモトピー極限と関数複体の可換性）を活用し、モデル圏の主張を単体的集合の主張に還元する。
• コサイミプレクス対象のトータライゼーション（ホモトピー極限）として完成を定義し、正しいホモトピー理論的完成を計算できることを保証する。
• トータライゼーションのフィルトレーションを解析することで、完成の相対ホモトピー群に収束するスペクトル系列を構成する。
• 面写像から誘導されるコサイミプレクス写像 $ u_k^{l*} $ が互いにホモトピー的であることを証明し、スペクトル系列の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボウスフィールド＝カーン完成の構成は、単体的集合から任意のモデル圏へ一般化可能か？
• RQ2 小さな対象の操作から得られるコクォーツィエントリプレースメント関手が、完成に必要な対角構造を備える条件は何か？
• RQ3 点付きモデル圏における完成の相対ホモトピー群を計算するボウスフィールド＝カーンスペクトル系列は、どのように構成可能か？
• RQ4 モデル圏にどのような構造的条件（例：アセイクリックファイブレーションが単射的）が課されると、余対角を備えたより効率的なファイブレーション補完関手が得られるか？
• RQ5 ホモトピー極限と関数複体の可換性の性質は、一般のモデル圏の主張を単体的集合の主張に還元するために、どの程度有効か？

主な発見

• コクォーツィエントリプレースメント関手が対角を備える限り、任意のモデル圏において三重に関するボウスフィールド＝カーン完成が存在する。
• 点付きモデル圏では、完成が相対ホモトピー群を計算するボウスフィールド＝カーンスペクトル系列を備え、$ E_2 $-頁は $ R $-加群の圏における $ ext{Ext} $-群で与えられる。
• 標準的なコサイミプレクス構造から誘導されるコサイミプレクス写像 $ u_k^{l*} $ は互いにホモトピー的である。これはスペクトル系列の構成を可能にする重要な技術的結果である。
• すべてのアセイクリックファイブレーションが単射的である場合、小さな対象の操作を修正することで、余対角を備えたファイブレーション補完関手を構成でき、冗長性が低減される。
• トータライゼーションが正しくホモトピー極限を計算する理由は、点付きの場合に解体がReedyファイブレーションであるためである。
• この構成はホモトピー的不変性を有する：弱同値が、コクォーツィエントリプレースメントが弱同値と整合する限り、完成関手によって保存される。