[論文レビュー] Cofibrantly generated natural weak factorisation systems

Richard Garner|ArXiv.org|Feb 12, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、弱因子分解系の代数的強化として、修正された小さな対象の方法を用いてより小さく扱いやすい因子分解を生成する、cofibrantly generated natural weak factorisation systems (n.w.f.s.) を導入する。結果として得られる n.w.f.s. が生成係数の cofibrations によって自由に生成されること、および構造付き写像の圏がすべての関連する圏論的構成、特に極限、余極限、および非可換合成に関して閉じていることを証明する。

ABSTRACT

There is an ``algebraisation'' of the notion of weak factorisation system (w.f.s.) known as a natural weak factorisation system. In it, the two classes of maps of a w.f.s. are replaced by two categories of maps-with-structure, where the extra structure on a map now encodes a choice of liftings with respect to the other class. This extra structure has pleasant consequences: for example, a natural w.f.s. on C induces a canonical natural w.f.s. structure on any functor category [A, C]. In this paper, we define cofibrantly generated natural weak factorisation systems by analogy with cofibrantly generated w.f.s.'s. We then construct them by a method which is reminiscent of Quillen's small object argument but produces factorisations which are much smaller and easier to handle, and show that the resultant natural w.f.s. is, in a suitable sense, freely generated by its generating cofibrations. Finally, we show that the two categories of maps-with-structure for a natural w.f.s. are closed under all the constructions we would expect of them: (co)limits, pushouts / pullbacks, transfinite composition, and so on.

研究の動機と目的

• 標準的な弱因子分解系の代数的強化として、cofibrantly generated natural weak factorisation systems を定義すること。
• Quillen の元々の小さな対象の方法よりも、より小さく扱いやすい因子分解を生成する、構成的かつ明示的な方法を開発すること。
• 結果として得られる n.w.f.s. が、正確な圏論的意味でその生成係数の cofibrations によって自由に生成されることを示すこと。
• 構造付き写像の圏（L-写像とR-写像）が、余極限、極限、押し出し、引き戻し、および非可換合成を含む、すべての標準的な圏論的構成に関して閉じていることを確立すること。

提案手法

• 矢印圏 ${{\rm C}}^{{\bf 2}}$ 上にコモナドを構成するため、Quillen の小さな対象の方法を適応し、明示的かつ構造的な因子分解を持つ自然な弱因子分解系を生成する。
• $\mathcal{C}$ 上の圏の圏 $\mathbf{Cat}/\mathcal{C}$ における左カルタン拡張を用いて、基礎となるファンクター的因子分解を計算し、ドメイン関手およびコドメイン関手と整合性を保証する。
• $\mathbf{Cat}/\mathcal{C}$ 内の左拡張を用いてコモナド $\mathsf{L}^1$ を構成し、これは $\mathcal{L}$-写像の代数的構造を符号化する。
• 結果の因子分解がファンクター的であり、ドメイン関手を尊重することを保証するため、プッシュアウト補正ステップを用いる。これにより、$\mathrm{dom}$ 上のコモナド $\mathsf{L}^1$ が得られる。
• 普遍性およびカルタン拡張技術を用いて、結果として得られる $\mathcal{L}$-写像と $\mathcal{R}$-写像が余極限および極限に関してそれぞれ閉じていることを証明する。
• 明示的なコモナドが第5.2節に定義されたものと一致することを確認するため、余極限およびプッシュアウト構造を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的構造とファンクター性を保ちつつ、cofibrantly generated natural weak factorisation systems をどのように定義できるか？
• RQ2 修正された小さな対象の方法は、自然な弱因子分解系の文脈で、より小さく明示的な因子分解を生成できるか？
• RQ3 $\mathcal{L}$-写像と $\mathcal{R}$-写像の圏は、余極限、極限、プッシュアウト、および非可換合成を含む、すべての標準的な圏論的構成に関して閉じているか？
• RQ4 結果として得られる n.w.f.s. が、生成係数の cofibrations によって自由に生成される、正確な意味は何か？
• RQ5 $\mathbf{Cat}/\mathcal{C}$ 内のカルタン拡張および左拡張による抽象的構成は、第5.2節の明示的構成と同一の因子分解を生じるか？

主な発見

• 論文は、左カルタン拡張およびプッシュアウト補正を用いて、${{\mathcal{C}}^{{\mathbf{2}}}}$ 上にコモナド $\mathsf{L}^1$ を構成し、構造的因子分解を持つ自然な弱因子分解系を生成する。
• 結果として得られる $\mathcal{L}$-写像と $\mathcal{R}$-写像は、それぞれすべての余極限および極限に関して閉じており、古典的な閉じる性質を一般化する。
• $\mathbf{Cat}/\mathcal{C}$ 内のカルタン拡張および左拡張による構成は、第5.2節の明示的構成と同一の基礎となるファンクター的因子分解を生成する。これにより一貫性が確認される。
• $\mathcal{L}$-写像はプッシュアウト、再帰的包摂、および非可換合成に関して閉じており、コモナド作用を通じて構造が保たれる。
• $\mathcal{R}$-写像は引き戻し、再帰的包摂、および極限に関して閉じており、モノイド作用を通じて構造が保たれる。
• 結果として得られる自然な弱因子分解系は、生成係数の cofibrations によって自由に生成されており、生成データを拡張するような初期構造であるという意味で、その意味が明確である。