[論文レビュー] Cofibrations in Homotopy Theory

Andrei Rădulescu-Banu|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 52

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー理論の最小限の公理的枠組みとして、アンドerson＝ブラウン＝シシンスキー（ABC）cofibrationカテゴリを導入し、cofibrationと弱同値に焦点を当ててホモトピー余極限を構成する。すべてのABC cofibrationカテゴリが強く左ヘラー導出可能であることを証明し、クイレンモデルカテゴリを一般化し、導出関手や導出関手の自然な設定を提供する。

ABSTRACT

We define Anderson-Brown-Cisinski (ABC) cofibration categories, and construct homotopy colimits of diagrams of objects in ABC cofibration categories. Homotopy colimits for Quillen model categories are obtained as a particular case. We attach to each ABC cofibration category a left Heller derivator. A dual theory is developed for homotopy limits in ABC fibration categories and for right Heller derivators. These constructions provide a natural framework for 'doing homotopy theory' in ABC (co)fibration categories.

研究の動機と目的

• ファイブレーションに依存しない、cofibrationと弱同値に基づくホモトピー理論の最小限の公理的体系を形式化すること。
• ファイブレーションを必要とせず、cofibrationと弱同値のみを用いてABC cofibrationカテゴリにおけるホモトピー余極限を構成すること。
• ABC cofibrationカテゴリと導出関手（特に左ヘラー導出関手）との関係を確立すること。
• ファイブレーションカテゴリと右ヘラー導出関手のための枠組みを双対化すること。
• クイレンモデルカテゴリがABC cofibrationカテゴリの特殊な場合であり、より強い導出可能性性質を持つことを示し、それらを一般化すること。

提案手法

• axiom CF1–CF6を用いて、cofibrationと弱同値に焦点を当てたABC cofibrationカテゴリを定義する。
• ホモトピー圏における余極限関手の左導出関手を用いてホモトピー余極限を構成する。
• 弱同値をモデル化し、関手を導出するためにホモトピー分数の計算を用いる。
• 分解補題と拡張補題を用いて、導出関手公理（Der1–Der5）を検証することで導出可能性を証明する。
• グロテンディーク構成とケン拡張を用いて図式と導出関手を関連付ける。
• 双対性を用いてファイブレーションカテゴリと右ヘラー導出関手を定義し、cofibrationの場合と対称的に行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイブレーションを必要とせず、cofibrationと弱同値のみを備えた圏においてホモトピー余極限を構成できるか？
• RQ2 ホモトピー余極限と導出関手の存在を保証するのに十分な最小限の公理は何か？
• RQ3 ABC cofibrationカテゴリはクイレンモデルカテゴリやワルドハウゼンカテゴリとどのように関係しているか？
• RQ4 ABC cofibrationカテゴリの強く左ヘラー導出可能性は、CF6よりも弱い公理から導かれるものか？
• RQ5 双対的なファイブレーションカテゴリと右導出関手を用いて、ホモトピー極限の理論を拡張できるか？

主な発見

• すべてのABC cofibrationカテゴリは強く左ヘラー導出可能であり、その前導出関手は左ヘラー導出関手のすべての公理を満たす。
• ABC cofibrationカテゴリにおけるホモトピー余極限は、余極限関手の全左導出関手として構成される。
• クイレンモデルカテゴリがABC cofibrationカテゴリの特別な場合であることが示され、したがって強くヘラー導出可能であることも示された。
• 双対理論としてのファイブレーションカテゴリは強く右ヘラー導出可能であり、ホモトピー極限への拡張が可能になる。
• CF1–CF5だけで強く左ヘラー導出可能である可能性があるという予想が提示され、CF6が余分である可能性が示唆された。
• 抽象的クイレン随伴性は、ABC cofibrationカテゴリにおける導出関手枠組みの結果として確立された。