[論文レビュー] Cofiniteness of weakly Laskerian local cohomology modules

Moharram Aghapournahrand, Kamal Bahmanpour+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限生成加群の拡張モジュラーのクラス FDₙ を導入し、任意の FD₀（またはミニマックス）部分加群 N に対して、局所コホモロジー加群 Hᵗᴵ(M) における Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) および Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) が、下位の局所コホモロジー加群 H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M) が FD₁（または弱くラスカー的）であるとき、有限生成であることを証明する。その結果、Hᵗᴵ(M)/N の関連素イデアルは有限個であることが示され、従来の余有限性に関する結果を一般化し、局所コホモロジーにおける余有限モジュラー理論を拡張する。

ABSTRACT

Let I be an ideal of a Noetherian ring R and M be a finitely generated R-module. We introduce the class of extension modules of finitely generated modules by the class of all modules T with dimTn and we show it by FDn where n � 1 is an integer. We prove that for any FD�0(or minimax) submodule N of H t (M) the R-modules HomR(R/I,H t (M)/N) and Ext 1(R/I,H t I (M)/N) are finitely generated, whenever the modules H 0 I (M), H 1 (M), ..., H t 1 I (M) are FD�1 ( or weakly Laskerian). As a conse- quence, it follows that the associated primes of H t I (M)/N are finite. This generalizes the main results of Bahmanpour and Naghipour (4) and (5), Brodmann and Lashgari (7), Khashyarmanesh and Salarian (21) and Hong Quy (18). We also show that the cate- gory FD 1 (R,I)cof of I-cofinite FD�1 R-modules forms an Abelian subcategory of the category of all R-modules.

研究の動機と目的

• 局所コホモロジーにおける余有限性結果を FDₙ 加群のクラスにまで拡張すること。
• 商環 R/I 上での Hom および Ext モジュラーの有限生成性を調査すること。
• 局所コホモロジー商の関連素イデアルが有限になる条件を確立すること。
• I-余有限 FD₁ 加群のカテゴリがアーベル部分カテゴリをなすことを示すこと。
• Bahmanpour, Naghipour, Brodmann, Lashgari, Khashyarmanesh, Salarian, Hong Quy らの従来の結果を一般化すること。

提案手法

• 次元 ≤ n である加群による有限生成加群の拡張として FDₙ を定義する。
• Hᵗᴵ(M) 及びその FD₀ 内の部分加群 N の構造を解析するため、t に関する帰納法を用いる。
• 下位コホモロジー加群が FD₁ 条件を満たすとき、Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) および Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) の有限生成性を適用する。
• 弱くラスカー的加群が FD₁ であることを利用し、既知の余有限性定理と結びつける。
• I-余有限 FD₁ R 加群のカテゴリ FD₁(R,I)cof が部分加群、商加群、および核について閉じていること、したがってアーベルカテゴリであることを証明する。
• 次元に基づくフィルトレーションおよび加群拡張技術を用いて、局所コホモロジー加群の構造を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N が FD₀ であるとき、H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M) が FD₁ である条件下で、モジュラー Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) が有限生成になる条件は何か？
• RQ2 下位の局所コホモロジー加群が FD₁ であると仮定したとき、Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) モジュラーが有限生成になる条件は何か？
• RQ3 FDₙ 加群のクラスと局所コホモロジーにおける余有限性の関係は何か？
• RQ4 Hᵗᴵ(M)/N の関連素イデアルの有限性は、下位コホモロジー加群の構造にどのように依存するか？
• RQ5 I-余有限 FD₁ R 加群のカテゴリは、すべての R 加群のカテゴリのアーベル部分カテゴリか？

主な発見

• 任意の FD₀ 部分加群 N に対して、H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M) が FD₁ である限り、モジュラー Homᵣ(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) は有限生成である。
• 下位コホモロジー加群が同じ条件を満たす限り、モジュラー Ext¹(R/I, Hᵗᴵ(M)/N) は有限生成である。
• 下位の局所コホモロジー加群 H⁰ᴵ(M), ..., Hᵗ⁻¹ᴵ(M) が FD₁ である限り、Hᵗᴵ(M)/N の関連素イデアルは有限個である。
• I-余有限 FD₁ R 加群のカテゴリ FD₁(R,I)cof は、すべての R 加群のカテゴリのアーベル部分カテゴリである。
• 本研究の結果は、Bahmanpour と Naghipour、Brodmann と Lashgari、Khashyarmanesh と Salarian、Hong Quy の従来の余有限性定理を一般化する。
• FDₙ 加群のクラスは、ミニマックスおよび弱くラスカー的加群を超える余有限性結果の自然な枠組みを提供する。