[論文レビュー] Cognitive Binary Logic - The Natural Unified Formal Theory of Propositional Binary Logic

Nicolaie Popescu-Bodorin, Luminiţa State|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2011

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、文法的および意味的整合性を持つ命題的2値論理の統一的かつ意味的に閉じた形式的体系として、認知的2値論理（CBL）を導入する。文法的・意味的に整合的な論理式、形式的証明、帰納的推論、CNF化、解体が、1つのデータ構造「帰納的対話」を用いて表現され、計算的に検証される。主な貢献は、CBL内での自己言及的不整合性ゆえに有効な論理式でないことが示されるラーラーの逆説の解体である。これは古典的2値論理の論理的欠陥ではなく、意味的不整合によるものである。

ABSTRACT

This paper presents a formal theory which describes propositional binary logic as a semantically closed formal language, and allows for syntactically and semantically well-formed formulae, formal proofs (demonstrability in Hilbertian acception), deduction (Gentzen's view of demonstrability), CNF-ization, and deconstruction to be expressed and tested in the same (computational) formal language, using the same data structure. It is also shown here that Cognitive Binary Logic is a self-described theory in which the Liar Paradox is deconstructed.

研究の動機と目的

• 文法、意味、計算を統合した命題的2値論理の統一的形式的理論の構築。
• 有効な議論と文法的に真だが意味的に空虚な含意とを区別することで、人間のような論理的推論をモデル化すること。
• 自己記述的形式的体系内での意味的不整合を示すことにより、ラーラーの逆説を解体すること。
• 形式的体系が意味的に閉じた枠組み内で形式化された場合、古典的命題論理が一貫性と完全性を保つことを示すこと。
• 証明、推論、解体が一様に表現可能かつ検証可能な計算的フレームワークを確立すること。

提案手法

• 命題的2値論理の二重の意味的・計算的形式化（SCBLおよびCCBL）として認知的2値論理（CBL）を導入する。
• 1つのデータ構造「帰納的対話」を用いて、文法的整合性、意味的妥当性、形式的証明、解体を表現・検証する。
• 任意の論理的変数 p ∈ V が V 自身内で推論可能であるように、推論に関して閉じた語彙 V を定義する。これにより自己記述が可能になる。
• 物質的含意とは異なる意味的構造として認知的含意を形式化し、真の前提からしか有効な議論が得られないように保証する。
• 公式 (t → p) ↔ ¬(p → f) が CCBL 内で帰納的に証明可能であることを証明し、論理的一致性の基盤的同一性を確立する。
• 自己言及的論理式が「私は偽である」と主張する場合、矛盾が生じることを示し、V 内で整合的な論理式とはなり得ないことを解体する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの枠組み内で命題的2値論理の文法的、意味的、計算的側面を統合できる形式的体系は存在するか？
• RQ2 人間のような論理的推論（有効な議論と単なる文法的真実を区別するもの）は、形式的にどのようにモデル化できるか？
• RQ3 意味的に閉じた形式的体系内では、ラーラーの逆説は本質的に逆説的であると見なされるか、それとも単に不適切に構築された表現にすぎないか？
• RQ4 自己記述的かつ一貫性を持つ形式的理論は可能か？自己言及の落とし穴を避けるにはどのような条件が必要か？
• RQ5 計算論理体系において、論理式が文法的および意味的に整合的であるための条件は何か？

主な発見

• ラーラーの逆説は、認知的2値論理（CCBL）において意味的整合性を欠くため、有効な論理式ではない。
• 公式 (t → p) ↔ ¬(p → f) は CCBL 内で帰納的に証明可能であり、論理的一致性の基盤的同一性を確立する。
• 公式 ((t → p) ∧ (p → f)) → f は CCBL 内で証明可能に真である。これは、p が同時に t → p と p → f を満たすことはできないことを確認する。
• 自己言及的命題的変数 p が真であるが「偽である」と主張するという仮定は矛盾を生じるため、p ∉ V であることが証明される。
• ラーラーの逆説は、語彙 V に含まれない余分な記号を含むため、真の論理式ではなく、論理の模倣にすぎない図式的な模倣物として解体される。
• CCBL は完全かつ健全な形式的理論であり、ラーラーの逆説は整合的な論理式として表現できず、古典論理の一貫性が保たれる。