[論文レビュー] Cohen-Lenstra distributions via random matrices over complete discrete valuation rings with finite residue fields

Gilyoung Cheong, Yifeng Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限の残渣体をもつ完備離散付値環上の確率的行列理論と数論におけるCohen-Lenstra分布との間の関係を確立する。Haar測度を用いてそのような環上の確率的行列の余核を分析することで、著者たちはFriedmanとWashingtonの結果を一般化し、余核の極限分布がCohen-Lenstraのヒューリスティックと一致することを証明する。その確率は自己同型群の位数の逆数に比例する。

ABSTRACT

Let $(R, \mathfrak{m})$ be a complete discrete valuation ring with the finite residue field $R/\mathfrak{m} = \mathbb{F}_{q}$. Given a monic polynomial $P(t) \in R[t]$ whose reduction modulo $\mathfrak{m}$ gives an irreducible polynomial $\bar{P}(t) \in \mathbb{F}_{q}[t]$, we initiate the investigation of the distribution of $\mathrm{coker}(P(A))$, where $A \in \mathrm{Mat}_{n}(R)$ is randomly chosen with respect to the Haar probability measure on the additive group $\mathrm{Mat}_{n}(R)$ of $n imes n$ $R$-matrices. One of our main results generalizes two results of Friedman and Washington. Our other results are related to the distribution of the $\bar{P}$-part of a random matrix $\bar{A} \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ with respect to the uniform distribution, and one of them generalizes a result of Fulman. We heuristically relate our results to a celebrated conjecture of Cohen and Lenstra, which predicts that given an odd prime $p$, any finite abelian $p$-group (i.e., $\mathbb{Z}_{p}$-module) $H$ occurs as the $p$-part of the class group of a random imaginary quadratic field extension of $\mathbb{Q}$ with a probability inversely proportional to $|\mathrm{Aut}_{\mathbb{Z}}(H)|$. We review three different heuristics for the conjecture of Cohen and Lenstra, and they are all related to special cases of our main conjecture, which we prove as our main theorems. For proofs, we use some concrete combinatorial connections between $\mathrm{Mat}_{n}(R)$ and $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ to translate our problems about a Haar-random matrix in $\mathrm{Mat}_{n}(R)$ into problems about a random matrix in $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ with respect to the uniform distribution.

研究の動機と目的

• 有限の残渣体をもつより一般的な完備離散付値環（DVR）へのFriedmanとWashingtonの$\mathbb{Z}_p$上での確率的行列の余核分布に関する結果の一般化。
• $\mathbb{F}_q$上での確率的行列の$\overline{P}$-部の分布を、類群分布に関するCohen-Lenstra予想と関連付ける。
• $R[[t]]$上での余核統計を用いて、Cohen-Lenstra予想をヒューリスティックに支持する新しい確率的行列理論的枠組みを提供する。
• 行列サイズ$n \to \infty$の極限において、余核分布の普遍的極限挙動を確立し、Cohen-Lenstra確率と一致させること。
• $\mathbb{F}_q$上と$\mathbb{F}_q[[t]]$上の両方で余核分布が同じ極限分布に収束するにもかかわらず、有限サイズの確率が異なるという矛盾を解明すること。

提案手法

• 有限の残渣体$\mathbb{F}_q$をもつ完備離散付値環$R$に対して、$\mathrm{Mat}_n(R)$上にHaar測度を用い、$n \times n$行列に確率分布を定義する。
• $R \to \mathbb{F}_q$の射影を用いて、$R$上での行列の余核と$\mathbb{F}_q$上でのそれとの関係を確立し、Haar確率的問題を一様確率的問題に変換する。
• 組合せ論的技法を用いて、$\mathrm{coker}(P(A))$が与えられた有限$R$-加群と同型である確率を計算する。特に、$\mathfrak{m}$を法として$P(t)$が既約である場合に注目する。
• 母関数とゼータ関数$\hat{\boldsymbol{Z}}(\{P_j\}, \mathbf{x}, 1)$を用いて、余核構造の極限確率を計算する。
• Haar確率的行列$A \in \mathrm{Mat}_n(R)$に対する$\mathrm{coker}(A)$の極限分布が、Cohen-Lenstra測度と一致することを証明し、確率は$\frac{1}{|\mathrm{Aut}(H)|} \prod_{i=1}^\infty (1 - p^{-i})$となる。
• 二つの異なる余核確率を比較する：一つは$\overline{A} \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}_q)$による$\mathrm{coker}(\overline{A} - tI_n)$の確率、もう一つは$A \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}_q[[t]])$によるもので、両方とも同じCohen-Lenstra極限に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $R$が有限の残渣体をもつ完備DVRであるとき、$\mathrm{coker}(P(A))$の分布は、Haar確率的$A \in \mathrm{Mat}_n(R)$に対してCohen-Lenstra予想とどのように関係するか？
• RQ2 $\mathbb{Z}_p$上での古典的Friedman-Washingtonの結果は、有限の残渣体をもつ任意の完備DVRに一般化可能か？
• RQ3 一様確率的行列$\overline{A} \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}_q)$の$\overline{P}$-部と、類群の$p$-部のCohen-Lenstra分布との関係は何か？
• RQ4 有限サイズの確率が異なるにもかかわらず、$\mathbb{F}_q$上と$\mathbb{F}_q[[t]]$上の二つの異なる確率的行列モデルが、同じ極限余核分布をもたらすのはなぜか？
• RQ5 自己同型群の位数とゼータ関数は、極限において与えられた余核構造の確率をどのように記述するか？

主な発見

• 残渣体が$\mathbb{F}_q$である完備DVR$R$に対して、$A$を$\mathrm{Mat}_n(R)$でHaar確率的に選ぶとき、$\mathrm{coker}(A)$の極限分布はCohen-Lenstra測度と一致する：$n \to \infty$のとき$\mathrm{Prob}(\mathrm{coker}(A) \simeq H) = \frac{1}{|\mathrm{Aut}(H)|} \prod_{i=1}^\infty (1 - p^{-i})$。
• $P(t) \in R[t]$が$\mathfrak{m}$を法として既約であるとき、$\mathrm{coker}(P(A)) \simeq H$である確率は、$n \to \infty$のとき$\frac{1}{|\mathrm{Aut}(H)|} \prod_{i=1}^\infty (1 - q^{-i \deg(P)})$に収束する。これはFriedmanとWashingtonの$\mathbb{p}$進結果を一般化する。
• 一様確率的行列$\overline{A} \in \mathrm{Mat}_n(\mathbb{F}_q)$の$\overline{P}$-部の分布は、$\mathbb{F}_q[t]$-加群上のCohen-Lenstra測度に収束し、関数体の類群のヒューリスティックと一致する。
• 著者たちは、$\mathbb{F}_q$上での$\mathrm{coker}(\overline{A} - tI_n) \simeq H$の極限確率が、$n \geq \dim_{\mathbb{F}_q}(H)$のとき$\frac{1}{|\mathrm{Aut}_{\mathbb{F}_q[t]}(H)|} \prod_{i=1}^n (1 - q^{-i})$に等しく、それ以外の場合は0であることを証明した。
• 有限サイズの確率が異なるにもかかわらず、$\mathbb{F}_q$上での行列モデルと$\mathbb{F}_q[[t]]$上での行列モデルの両方が同じ極限余核分布をもたらす。これは普遍性の一形態を示している。
• ゼータ関数$\hat{\boldsymbol{Z}}(\{P_j\}, \mathbf{x}, 1)$は、余核内での指定された$P_j$-部の極限確率を記述しており、その積形式は、極限において異なる素因数における部分の独立性を確認する。