[論文レビュー] Cohen-Macaulay Du Bois singularities with a torus action of complexity one

Antonio Laface, Alvaro Liendo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、多面体除法を用いて、複雑性1の正規T-多様体におけるCohen-MacaulayおよびDu Bois特異点の特徴づけを、コhomological基準によって与える。このような特異点は、双対格子上の格子点に対応する除法類の床の次数条件によって特徴づけられ、有理特異点を持たないCohen-Macaulay Du Bois特異点の明示的例を構成する。

ABSTRACT

Using Altmann-Hausen-Suss description of $\mathbb{T}$-varieties via divisorial fans and Kóvacs-Schwede-Smith characterization of Du Bois singularities, we study Cohen-Macaulay Du Bois $\mathbb{T}$-singularities of complexity one. We exhibit cohomological criteria for a $\mathbb{T}$-variety to be Cohen-Macaulay and Du Bois in terms of polyhedral divisors. We give an example of a Cohen-Macaulay Du Bois singularity of complexity one which does not have rational singularities.

研究の動機と目的

• 複雑性1のT-多様体におけるCohen-MacaulayおよびDu Bois特異点を、組合せ的データを用いて特徴づける。
• 既知の有理特異点および対数正則特異点の基準を、Cohen-Macaulay Du Bois特異点の状況に拡張する。
• T-多様体がCohen-MacaulayかつDu Boisであるかどうかを決定する、多面体除法に基づく明示的なコhomological条件を提示する。
• 有理特異点を持たない複雑性1のCohen-Macaulay Du Bois特異点の具体的な例を構成する。
• 有理特異点の複雑性1の場合の結果を、除法的ファンと正則層の計算を用いて高次元に一般化する。

提案手法

• T-多様体の多面体除法および除法的ファンによるAltmann-Hausen-Süßの記述を用いる。
• Kollár–Kovács–Schwede–Smithによる、双対化複体のコhomologyを用いたDu Bois特異点の特徴づけを適用する。
• 有理T-多様体の複雑性1における有理特異点のためのKempfの基準を用いる。
• 基底多様体上の正則除法と除法的データを用いて、アフィンT-多様体上の正則層の次数付き成分を計算する。
• 再発錐のファンにおける「大きな」方向と「大きくない」方向の概念を導入し、トーラス作用下での切断の挙動を分類する。
• 解消における双対正則層の切断と元の多様体との間の同型を用いて、コhomological条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多面体除法のコhomological条件は、複雑性1のT-多様体がCohen-MacaulayかつDu Boisであるためのものか？
• RQ2 複雑性1のT-多様体が有理特異点を持たないままCohen-MacaulayかつDu Boisであることは可能か？
• RQ3 除法類D(u)の床の次数は、関連するT-多様体の特異点とどのように関係するか？
• RQ4 再発錐における「大きな」方向と「大きくない」方向の役割は、正則層のコhomological挙動を決定づけるか？
• RQ5 T-多様体の正則層は、基底多様体と多面体除法を用いてどのように記述できるか？

主な発見

• P1 上のp-除法Dによって定義される複雑性1の有理T-多様体X(D)は、すべての格子点uについて、特定の符号条件を満たすペアリングを持つuに対してdeg⌊D(u)⌋ ≥ −1 が成り立つとき、かつそのときに限りCohen-MacaulayかつDu Boisである。
• 本稿では、あるuに対してdeg⌊D(u)⌋ = −2 となる例を明示的に構成し、X(D)が有理特異点を持たないが、Cohen-MacaulayかつDu Boisであることを示している。
• 例における多様体X(D)は、すべての関連するuに対してdeg⌊D(u)⌋ ≥ −1 が成り立つため、Theorem 2の基準を満たし、Du Bois特異点をもつ。
• T-多様体X(D)の正則層は、解消からの正則層の押し出しと同型であり、これによりコhomological基準が導出可能である。
• 有理特異点の条件は、特定のuに対してdeg⌈D(u)⌉ ≤ 1 が成り立つ必要があるが、例ではこの条件が満たされないため、有理特異点が存在しないことが確認される。
• Theorem 1およびTheorem 2の基準は、複雑性1に制限した場合、Theorem 4.2およびTheorem 4.3の一般基準と同値であることが示された。