[論文レビュー] Cohen-Macaulay Nilpotent Schemes

Nicolae Manolache|ArXiv.org|Dec 31, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特に対称空間内の平面のような滑らかな多様体上に、Cohen-Macaulay的冪零スキーム構造（特に二重および三重構造）が存在するかを調査する。ヒルベルト多項式の比較と、リーマン・ローチ・ヒルツブルーフの定理によるチャーン類の制約を用いて、そのような構造が、特定のインデコンposableなランク3ベクトルバンドルの零点集合として現れないことを証明する。その根拠は、バンドルのヒルベルト多項式に非整数値が現れることによる。

ABSTRACT

The first part of this paper, written mainly for nonspecialists, is a short and partial survey about the construction and classification of nilpotent Cohen-Macaulay scheme structures on a scheme "less nilpotent"(e.g. a smooth variety) as support. The second part presents some old and new examples about degree 4 curves in the projective space and inexistence of certain vector bundles.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体（特に射影空間内の平面）上に、Cohen-Macaulay的多重構造（特に二重および三重構造）が存在するかを調査すること。
• このような構造が、特にヒルベルト多様体とモジュライ問題の文脈において、ベクトルバンドルの切断の零点集合として生じるかを特定すること。
• 零点スキームが多重構造であるようなベクトルバンドルのチャーン類に、リーマン・ローチ・ヒルツブルーフの定理が課す制約を分析すること。
• インデコンposableなベクトルバンドルが所定の冪零スキーム構造を持つという代数幾何学的予想問題を解決すること。

提案手法

• 理想的な完全列を用いて、滑らかな多様体 $X$ 上の多重構造 $Y$（二重または三重）のヒルベルト多項式を構成する。
• 幾何的構造から導かれるスキーム $Y$ のヒルベルト多項式と、リーマン・ローチ・ヒルツブルーフの定理を用いてチャーン類から導かれるベクトルバンドル $E$ のヒルベルト多項式を比較する。
• ベクトルバンドルのヒルベルト多項式がすべての整数 $t$ に対して整数値を取らなければならないという条件を用いて、チャーン類に数論的制約を導く。
• ヒルベルト多項式を二項係数 $\binom{t+i}{i}$ の基底で表現し、リーマン・ローチ・ヒルツブルーフの公式を適用して、バンドル $E$ のヒルベルト多項式を表現し、係数の整数性を検証する。
• vanishing of $\mathrm{Ext}^1$ 群により完全列が分解可能であることを示し、二重構造の場合のリトラクト構造の存在を確立する。
• 仮想のベクトルバンドル $E$ のチャーン類 $c_1, c_2, c_3$ を分析し、その零点スキームが平面への三重構造であると仮定した上で、ヒルベルト多項式の非整数係数から矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影空間 $\mathbb{P}^5$ 内の平面 $X$ に三重構造が、$\mathbb{P}^5$ 上のインデコンポジットなランク3ベクトルバンドルの切断の零点集合として現れ得るか？
• RQ2 ヒルベルト多項式とベクトルバンドルのチャーン類が、このような冪零スキーム構造の存在に課す制約は何か？
• RQ3 幾何学的およびコhomologicalな制約が既知である状況下で、$\mathbb{P}^5$ 上にランク3のベクトルバンドルが存在し、その切断の消失スキームが平面へのCohen-Macaulay的三重構造となるか？
• RQ4 特定のチャーン類の組み合わせが、ベクトルバンドルのヒルベルト多項式に非整数値をもたらす理由は何か？これは、このようなバンドルの存在に何を意味するか？
• RQ5 リーマン・ローチ・ヒルツブルーフの定理から導かれるヒルベルト多項式の係数に関する代数的条件が、このようなバンドルの非存在をどのように排除するのか？

主な発見

• ヒルベルト多項式に非整数係数が現れるため、$\mathbb{P}^5$ 上に、平面 $X \subset \mathbb{P}^5$ への三重構造を消失スキームとして持つインデコンポジットなランク3ベクトルバンドル $F$ は存在しない。
• リーマン・ローチ・ヒルツブルーフの定理から導かれる仮想バンドル $E$ のヒルベルト多項式には、係数 $\frac{207R^4 - 1512R^3 - 1845R^2 - 828R - 134}{12}$ が含まれており、これは任意の整数 $R$ に対して整数でないため、ヒルベルト多項式が整数値を取らなければならないという要件に反する。
• このようなバンドルのチャーン類は $c_1 = 6R - 3$、$c_2 = 57R^2 + 27R + 13$、$c_3 = -3$ となるが、これらは非整数ヒルベルト多項式をもたらし、バンドルの存在を不可能にする。
• 二重構造の場合、$H^1(G^\vee(2r))$ の消失により、定義完全列の分解が保証され、リトラクト構造の存在が保証される。
• 平面への二重構造のヒルベルト多項式は $\chi_Y(t) = t^2 + (r+3)t + \frac{r^2 + 3r + 4}{2}$ として計算され、幾何的構成と整合的である。
• このようなベクトルバンドルの存在を仮定すると、ヒルベルト多項式の整数性に矛盾が生じるため、非存在が証明される。