[論文レビュー] Cohen-Macaulay Property of pinched Veronese Rings

Ornella Greco, Ivan Martino|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2017

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正規化された除法複体の簡約ホモロジーを用いて、ピンチド・ヴェロネーゼ環のコhen＝マカウレー性および線形性を特徴づけている。$P_{n,d,\mathbf{m}}$ がコhen＝マカウレーであるための必要十分条件は、$\operatorname{max}\mathbf{m} = d$ または ($\operatorname{max}\mathbf{m} = d-1$ かつ $n=2$) であり、2変数の場合のベッチテーブルを完全に記述しており、$P_{2,d,\mathbf{m}}$ は $i > 1$ のとき $(i-2)$-線形であることが示され、ベッチ数の明示的公式が与えられている。

ABSTRACT

In this work, we study the Betti numbers of pinched Veronese rings, by means of the reduced homology of squarefree divisor complexes. We characterize when these rings are Cohen-Macaulay and we the study the shape of the Betti tables for the pinched Veronese in the two variables. As a byproduct we obtain information on the linearity of such rings. Moreover, in the last section we compute the canonical modules of the Veronese modules.

研究の動機と目的

• ピンチド・ヴェロネーゼ環 $P_{n,d,\mathbf{m}}$ がコhen＝マカウレーである条件を特定すること。
• 2変数ピンチド・ヴェロネーゼ環のベッチテーブルの形状を特徴づけること。
• ヴェロネーゼモジュール $S_{n,d,k}$ の正規化モジュールを計算すること。既知の結果を一般化する。
• ピンチド・ヴェロネーゼ環における解体の線形性を理解すること。標準的ヴェロネーゼ環の線形解体とは対照的である。

提案手法

• 正規化された除法複体の簡約ホモロジーを用いて、$P_{n,d,\mathbf{m}}$ のベッチ数を計算する。
• ベッチ数と単体的複体のホモロジーを関連付けるBrusen-Herzogの公式を適用する。
• $\operatorname{max}\mathbf{m}$ に依存する、ヒルベルト級数 $P_{n,d,\mathbf{m}}(z)$ の閉形式表現を導出する。
• Eagon-Northcott型の議論とGorenstein環における双対性を用いて正規化モジュールを計算する。
• 特定の次数におけるホモロジー類の消滅を調べることで、解体の $p$-線形性を分析する。
• 単項式の次数と単体的複体の構造に関する組合せ的議論を用いて、ベッチ数の台を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピンチド・ヴェロネーゼ環 $P_{n,d,\mathbf{m}}$ がコhen＝マカウレーであるのはいつか？
• RQ2 2変数の場合の $P_{2,d,\mathbf{m}}$ のベッチテーブルの正確な形状は何か？
• RQ3 解体 $P_{2,d,\mathbf{m}}$ が $p < d-1$ のとき $p$-線形である条件は何か？
• RQ4 $k < d$ のとき、ヴェロネーゼモジュール $S_{n,d,k}$ の正規化モジュールは何か？
• RQ5 $\mathbf{m}$ の選択がベッチ数および解体の線形性に与える影響は何か？

主な発見

• ピンチド・ヴェロネーゼ環 $P_{n,d,\mathbf{m}}$ は、$\operatorname{max}\mathbf{m} = d$ または ($\operatorname{max}\mathbf{m} = d-1$ かつ $n = 2$) である場合に限りコhen＝マカウレーである。
• $n=2$ のとき、$\mathbf{m} = (i,d-i)$ かつ $i > 1$ の場合、$P_{2,d,\mathbf{m}}$ は $p = i-2$ に対して $p$-線形であり、$i=0$ のときは線形である。
• $\operatorname{max}\mathbf{m} < d-1$ のとき、$1 \leq j \leq i-1$ に対してベッチ数 $\beta_{j,(j+1)d}$ は $\beta_{j,(j+1)d} = (d-1)\binom{d-2}{j} - \binom{d}{j} - \binom{d-2}{j+1}$ で与えられる。
• $\operatorname{max}\mathbf{m} < d-1$ のとき、ベッチ数 $\beta_{d-3,(d-1)d} = \binom{d}{2} - 1$ および $\beta_{d-2,d^2} = \binom{d}{3} - \binom{d}{2} + 1$ が成り立つ。
• ヴェロネーゼモジュール $S_{n,d,k}$ の正規化モジュールは $S_{n,d,t}$ であり、ここで $t \equiv -n-k \pmod{d}$ かつ $0 \leq t < d$ である。これは以前の結果を一般化する。
• $S_{n,d,k}$ のベッチテーブルは $S_{n,d,d-n-k}$ のベッチテーブルの逆であり、正規化モジュールによる双対性を確認している。