[論文レビュー] Coherence and Entanglement Monogamy in the Discrete Analogue of Analog Grover Search

Namit Anand, Arun Kumar Pati|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、アナロググローバー探索アルゴリズムの離散的アナログにおける量子コherー二ンスともつれモノガミーを調査し、アルゴリズムが最大の成功確率に達するに従いコヒーレンスが減少すること、および対ごとのもつれ（concurrence）が成功確率と同時にピークに達することを示している。この系はもつれのn部モノガミー不等式を満たしており、探索プロセス中、量子相関がキュービット間で重複せずに共有されていることが確認された。

ABSTRACT

Grover's search algorithm is the optimal quantum algorithm that can search an unstructured database quadratically faster than any known classical algorithm. The role of entanglement and correlations in the search algorithm have been studied in great detail and it is known that entanglement between the qubits is necessary to gain a quadratic speedup, for pure state implementation of the Grover search algorithm. Here, we systematically investigate the behavior of quantum coherence and monogamy of entanglement in the discrete analogue of the $ extit{analog analogue of Grover search algorithm}$. The analog analogue of Grover search is a continuous time quantum algorithm based on the adiabatic Hamiltonian evolution that gives a quadratic speedup, similar to the original Grover search algorithm. We show that the decrease of quantum coherence, quantified using various coherence monotones, is a clear signature of attaining the maximum success probability in the analog Grover search. We also show that for any two qubit reduced density matrix of the system, the concurrence evolves in close vicinity to the increasing rate of success probability. Furthermore, we show that the system satisfies a $n$-party monogamy inequality for arbitrary times, hence bounding the amount of $n$-qubit entanglement during the quantum search.

研究の動機と目的

• アナロググローバー探索アルゴリズムの離散的アナログにおける量子コヒーレンスともつれモノガミーの役割を理解すること。
• コヒーレンスともつれのダイナミクスが、探索プロセスの成功確率と相関しているかどうかを特定すること。
• アルゴリズムの進化中に、多体系もつれのモノガミー不等式が満たされているかどうかを調査すること。
• 二次的スピードアップを達成する系におけるコヒーレンスともつれの時間発展を定量すること。
• 離散的アナログが、特にコヒーレンスともつれの挙動において、元のアナロググローバー探索の主要な特徴を保持していることを確立すること。

提案手法

• モノトーンとして$l_1$-ノルムと相対エントロピーを用いて量子コヒーレンスを定量化した。
• アナロググローバー探索ハミルトニアンの離散的アナログにおけるコヒーレンスともつれ（concurrenceを介して）の時間発展を追跡した。
• 2キュービットのconcurrenceの解析的表現を導出し、$\mathcal{C}('\rho_{AB}') = \frac{1}{\sqrt{N}} \left| \sin{\left( \frac{2Et}{\sqrt{N}} \right)} \right|$を示し、時間依存の対もつれを明らかにした。
• モノガミースコア$\delta\mathcal{C} = \mathcal{C}(\rho_{A|BC...}) - (n-1)\mathcal{C}(\rho_{AB})$を定義し、系が$n$部モノガミー不等式を満たしていることを示した。
• $N=4$および$N=32$について、concurrenceと成功確率の時間発展を数値的にシミュレートし、そのダイナミクスを比較した。
• アルゴリズムの全期間にわたり、concurrenceと平方もつれ形成エネルギーが両方ともモノガミー不等式を満たしていることを検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的アナロググローバー探索の過程で、量子コヒーレンスはどのように変化するか。また、アルゴリズムの成功確率と相関しているか。
• RQ2 対もつれ（concurrenceで測定）は、アナロググローバー探索における二次的スピードアップに不可欠であるか。成功確率が最大に達する際にピークに達するか。
• RQ3 系はもつれのモノガミーを示すか。アルゴリズムの進化全期間にわたりモノガミー不等式が満たされているか。
• RQ4 離散的アナログは、元のアナロググローバー探索のコヒーレンスともつれダイナミクスをどの程度保持しているか。
• RQ5 モノガミースコア$\delta\mathcal{C}$を解析的に導出し、それが非負のままであることを示すことで、複数のキュービットペア間でのもつれの非共有性を確認できるか。

主な発見

• $l_1$-ノルムと相対エントロピーのコヒーレンスは、アルゴリズムの進化に従い単調に減少し、これは最大コヒーレンスがターゲット状態に近づくに従い消費されることを示している。
• コヒーレンスの減少率は成功確率の増加率と密接に一致しており、コヒーレンスがアルゴリズム性能の主要なリソースであることが示された。
• 任意の2キュービット間のconcurrenceは$\mathcal{C}(\rho_{AB}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \left| \sin{\left( \frac{2Et}{\sqrt{N}} \right)} \right|$として時間発展し、成功確率の変化率と同時にピークに達する。
• モノガミースコア$\delta\mathcal{C} = \left( \frac{N-2}{2N} - \frac{1}{N}\log_2{\frac{N}{2}} \right) \sin^2{\left( \frac{2Et}{\sqrt{N}} \right)}$は、すべての時間で非負であり、系が$n$部モノガミー不等式を満たしていることを確認した。
• 平方もつれ形成エネルギーについてもモノガミー不等式が満たされており、もつれがキュービット間で重複せずに共有されていることがさらに確認された。
• 大きな$N$に対しては、対もつれは0に近づくため、漸近的極限ではもつれが多数のキュービットペアに分散されるが、依然としてモノガミーの性質を保っている。