[論文レビュー] Coherence and RIP Analysis for Greedy Algorithms in Compressive Sensing.

Mingrui Yang, Frank de Hoog|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、相互コherenceと制限等長性定数（RIC）の間の関係を強化することで、圧縮センシングにおける貪欲アルゴリズムの回復保証を向上させる、2-コherenCeという新しい辞書コヒーレンス測度を導入する。これは、直交一致追跡（OMP）のよりタイトなRICバウンドを確立し、OMPT—OMPのしきい値処理を強化した変種—を提案する。OMPTが同じ条件下でOMPと同一の回復性能を達成することを証明し、実用的実装の可能性を高める。

ABSTRACT

In this paper we define a new coherence index, named 2-coherence, of a given dictionary and study its relationship with the traditional mutual coherence and the restricted isometry constant. By exploring this relationship, we obtain more general results on sparse signal reconstruction using greedy algorithms in the compressive sensing (CS) framework. In particular, we obtain an improved bound over the best known results on the restricted isometry constant for successful recovery of sparse signals using orthogonal matching pursuit (OMP). We also initialized a study of a thresholding type greedy algorithm named orthogonal matching pursuit with thresholding (OMPT), which is more feasible in practice than OMP. We analyze its performance in CS framework for both noiseless and noisy cases in terms of coherence indices and the restricted isometry constant. We show that given the same assumptions as required for OMP, it achieves exactly the same reconstruction performance as OMP. Index Terms Compressive sensing, mutual coherence, 2-coherence, restricted isometry property, orthogonal matching pursuit (OMP), orthogonal matching pursuit with thresholding (OMPT). I.

研究の動機と目的

• 圧縮センシングにおけるコヒーレンスと制限等長性特性の理論的関連性を強化するため、2-コヒーレンスと呼ばれる新しいコヒーレンス測度を定義・分析すること。
• 2-コヒーレンスを用いて、よりタイトな制限等長性定数（RIC）条件を導出することで、直交一致追跡（OMP）の既存の回復バウンドを改善すること。
• 実用的な変種であるしきい値処理を施した直交一致追跡（OMPT）を提案・分析し、実世界の応用における実現可能性を高めること。
• 同じ仮定のもとでOMPTがOMPと同一の理論的回復性能を達成することを確立することにより、その実用的有用性を検証すること。

提案手法

• 2-コヒーレンスを、原子間の対ごとの相関に基づいて定義する新しい辞書コヒーレンス測度として導入し、相互コヒーレンスの概念を拡張する。
• 2-コヒーレンス、相互コヒーレンス、および制限等長性定数（RIC）の関係を分析し、これらの量を結ぶ理論的バウンドを導出する。
• 導出されたコヒーレンス-RIC関係を応用し、OMPによるスパース信号の成功した回復のためのRIC閾値を改善し、従来の結果よりもタイトなバウンドを達成する。
• 原子の選択にしきい値処理を適用する貪欲アルゴリズムとしてOMPTを提案し、計算コストを低減しながら理論的回復保証を維持する。
• コヒーレンスに基づくおよびRICに基づく分析を用いて、同じ条件下でOMPTがOMPと同一の回復性能を達成することを証明する。
• ノイズなしおよびノイズありの圧縮センシング設定の両方で理論的分析を実施し、コヒーレンスインデックスおよびRICを用いてOMPTの性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新たに定義された2-コヒーレンスは、従来の相互コヒーレンスおよび制限等長性定数（RIC）とどのように関係しているか？
• RQ2 2-コヒーレンスとRICの関係は、スパース信号再構成におけるOMPの回復バウンドを改善できるか？
• RQ3 提案されたOMPTアルゴリズムは、実用的実装性を向上させつつ、OMPと同一の理論的回復性能を維持できるか？
• RQ4 ノイズなしおよびノイズありの圧縮センシング状況下における、OMPTのコヒーレンスベースおよびRICベースの性能保証は何か？

主な発見

• 本稿では、従来の結果よりもタイトな制限等長性定数（RIC）バウンドを導出し、OMPによるスパース信号の成功した回復の理論的保証を向上させた。
• 2-コヒーレンスは形式的に定義され、相互コヒーレンスのみに依存するのとは対照的に、辞書構造のより洗練された特徴付けを可能にすることが示された。
• 2-コヒーレンス、相互コヒーレンス、およびRICの関係が解析的に確立され、圧縮センシングにおけるより強い理論的関連性が可能になった。
• OMPTは、しきい値処理を組み込んだ実用的なOMPの変種として導入され、計算オーバーヘッドを低減しながら性能を損なわない。
• OMPが要求するのと同じ仮定のもとで、OMPTは同一の回復性能を達成することが確認され、理論的同等性が裏付けられた。
• 理論的分析により、OMPTがコヒーレンスおよびRICベースの指標を用いて、ノイズなしおよびノイズありの圧縮センシング設定の両方で安定した回復を維持することが確認された。