[論文レビュー] Coherence for braided and symmetric pseudomonoids

Dominic Verdon|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、弱モノイド的2圏におけるbraidedおよびsymmetricな擬単位の構造について、これらの構造の計算可能コンピュータと組み込み2圏の間に双同値を構成することで、一貫性定理を確立する。これはMac Laneの古典的な一貫性結果を高次圏的設定に一般化したものであり、すべての図式が可換であることを示しているが、対称モノイド的2圏におけるbraided擬単位の場合を除き、2-セルは純ブレード群の要素に対応する。

ABSTRACT

Presentations for unbraided, braided and symmetric pseudomonoids are defined. Biequivalences characterising the semistrict bicategories generated by these presentations are proven. It is shown that these biequivalences categorify results in the theory of monoids and commutative monoids, and generalise standard coherence theorems for braided and symmetric monoidal categories.

研究の動機と目的

• braidedおよびsymmetricなモノイド圏の古典的一貫性定理を、弱モノイド的2圏における擬単位の設定に拡張すること。
• 半厳密モノイド的2圏におけるunbraided、braided、およびsymmetricな擬単位のための計算可能コンピュータを定義すること。
• これらの計算可能コンピュータによって生成されるモノイド的2圏と、より単純な組み込み2圏との間の双同値を証明すること。
• これらの双同値が、モノイド論における既知の結果を高次代数的構造へとカテゴライズ化し、標準的一貫性定理を高次代数的構造へ一般化することを示すこと。
• 従来の結果（例：Lackの結果）が適用できないbraidedおよびsymmetricな擬単位の一貫性問題を解決すること。

提案手法

• 生成子と関係式を用いて、半厳密モノイド的2圏におけるnaked、braided、およびsymmetricな擬単位の計算可能コンピュータを定義する。
• モノイド理論のPROs、PROBs、PROPsに同型な組み込み2圏を構成する。対象は自然数であり、射は単調関数または群作用で表される。
• 計算可能コンピュータによって生成されるモノイド的2圏と組み込み2圏との間の双同値を証明する。
• 図式的推論とGlobularにおける書き換え規則を用いて、ユニタリ、結合子、ブレディング、交換子を含む等式を導出する。
• 反復的書き換え手続きを用いて、ループ内からユニタリの生成および消去演算子を除去し、木構造の乗法構造を固定する。
• 対称モノイド的2圏におけるbraided擬単位の例外的な場合を扱うために、純ブレード群の要素に対応する2-セルを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 braidedおよびsymmetricなモノイド圏の古典的一貫性定理を、弱モノイド的2圏における擬単位の設定に一般化できるか？
• RQ2 braidedおよびsymmetricな擬単位の計算可能コンピュータによって生成されるモノイド的2圏と双同値となる組み込み2圏は何か？
• RQ3 すべての図式が可換となる場合と、非自明な2-セル（例：ブレード群からのもの）が一貫性構造に現れる場合の条件は何か？
• RQ4 Globularにおける図式的書き換えは、高次代数的構造の一貫性結果を証明するためにどのように利用できるか？
• RQ5 ユニタリと結合子は擬単位の一貫性において果たす役割は何か？そして、それらは体系的にどのように除去できるか？

主な発見

• 任意の弱モノイド的2圏におけるnakedおよびsymmetricな擬単位について、一貫性2圏は局所的に離散的であり、すべての図式が可換である。
• 対称モノイド的2圏におけるbraided擬単位について、一貫性2圏 ${f FS}^{ ext{br}}$ には純ブレード群の積の要素に対応する非自明な2-セルが存在する。
• 計算可能コンピュータによって生成されるモノイド的2圏と組み込み2圏との双同値は、2圏Catに制限した場合にMac Laneの古典的一貫性定理を示す。
• すべてのユニタリの生成および消去演算子は、図式的書き換えによりループから体系的に除去可能であり、これによりすべてのこのようなループが恒等2-セルと同値であることが証明される。
• 証明はGlobularにおける5-セルおよび6-セルの導出の系列に依拠しており、三角形恒等式から導出可能な結合子、ユニタリ、交換子に関する主要な補題が含まれる。
• 非自明な2-セルは、対称モノイド的2圏におけるbraidedの場合にのみ生じ、2-セルは純ブレード群によって支配され、非自明なブレディング構造を反映する。