[論文レビュー] Coherence-variance uncertainty relation and coherence cost for quantum measurement under conservation laws

H. Tajima, Hiroshi Nagaoka|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ケナード＝ロバートソン不等式を体系的に改善する一貫性-分散不確定性関係を確立し、保存則下での量子測定を実装するために必要な量子的一貫性の正確な評価を可能にする。小誤差極限において、必要なかつ十分な一貫性コストが $\frac{\|[A,B]\|}{2\epsilon}$ に比例することを示す漸近的等式を導出し、Wigner-Araki-Yanase-Ozawa定理における長年の空白を、整合的かつタイトな上界と下界により解消する。

ABSTRACT

Uncertainty relations are one of the fundamental principles in physics. It began as a fundamental limitation in quantum mechanics, and today the word {\it uncertainty relation} is a generic term for various trade-off relations in nature. In this letter, we improve the Kennard-Robertson uncertainty relation, and clarify how much coherence we need to implement quantum measurement under conservation laws. Our approach systematically improves and reproduces the previous various refinements of the Kennard-Robertson inequality. As a direct consequence of our inequalities, we improve a well-known limitation of quantum measurements, the Wigner-Araki-Yanase-Ozawa theorem. This improvement gives an asymptotic equality for the necessary and sufficient amount of coherence to implement a quantum measurement with the desired accuracy under conservation laws.

研究の動機と目的

• 情報幾何を用いてケナード＝ロバートソン不等式を精緻化し、測定プロセスにおける量子的一体性のより良い定量的評価を図ること。
• 保存則下での量子測定に必要な正確な必要十分な一体性の量を特定するという長年の問題を解決すること。
• Wigner-Araki-Yanase-Ozawa (WAY-Ozawa)定理を改善し、一体性コストに対するよりタイトな普遍的下界を導出すること。
• 一体性コストの上界と下界の間で漸近的等式を確立し、導出された境界の最適性を証明すること。
• $U(1)$-共変量子操作を実装するために必要な最小一体性を、対称性の資源理論を用いて定量すること。

提案手法

• 特に度合い調整歪み情報の技術を用いて、量子情報幾何的手法によりロバートソン不等式を体系的に改善する。
• 自由操作と自由状態を定義する、$G$-共変操作と$G$-不変状態を特徴とする、非対称性の資源理論の枠組みを適用する。
• $U(1)$-共変操作を用いて保存則をモデル化し、$U_g = e^{-igA}$ とし、度合い調整歪み情報により一体性コストを定義する。
• 改善された不確定性関係と自由操作の不変性特性を用いて、一体性コストの下界を導出する。
• 最小一体性を持つ間接測定プロトコルを構築し、必要な一体性に対する上界を導出し、漸近的タイトネスを証明する。
• 上界と下界が $\epsilon \to 0$ のとき漸近的に一致することを示し、漸近的等式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存則下で誤差 $\epsilon$ の量子測定を実装するために、正確で最小限の量子的一体性はどれほど必要か？
• RQ2 Wigner-Araki-Yanase-Ozawa定理は、一体性コストに対するよりタイトで普遍的な下界をもたらすように改善可能か？
• RQ3 導出された一体性コストの下界は漸近的にタイトか、すなわちその下界を達成するプロトコルが存在するか？
• RQ4 特に $U(1)$-対称性に関して、非対称性の資源理論は、非自由な量子操作を実装するコストをどのように定量するか？
• RQ5 一体性コストは測定誤差 $\epsilon$ と交換子ノルム $\|[A,B]\|$ に対して、どのように関数的に依存するか？

主な発見

• 本稿は、情報幾何を用いてケナード＝ロバートソン不等式を体系的に改善する新しい一貫性-分散不確定性関係を導出する。
• 保存則下での量子測定に必要な一体性コストに対する普遍的下界を確立し、これまでは得られなかった結果よりも厳密にタイトである。
• 構成的間接測定プロトコルを用いて、必要な一体性の上界を導出し、下界と漸近的に一致する。
• 小誤差極限 $\epsilon \to 0$ において、$\sqrt{I^{f}_{\epsilon}} = \frac{\|[A_{S},B_{S}]\|}{2\epsilon} + O(\|A_{S}\|)$ という漸近的等式が証明され、境界のタイトネスが示される。
• $f(0) = 1/2$ の場合、小誤差領域では一体性コストが $\frac{\|[A,B]\|}{2\epsilon}$ に比例することが確認され、最小に必要な一体性の正確なスケーリングが裏付けられる。
• この枠組みにより、度合い調整歪み情報が $U(1)$-共変量子操作における非対称性コストの有効かつ最適な測度であることが確認される。