[論文レビュー] Coherence via Well-Foundedness: Taming Set-Quotients in Homotopy Type Theory

Nicolai Kraus, Jakob von Raumer|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所的に整合的でwell-foundedな関係によって定義されるグラフ内のサイクルに対する、新しい帰納法の原理を導入し、ホモトピー型理論における集合商の整合性証明を可能にする。この原理により、サイクルの整合性が、基本ケースと局所的整合性の確認に還元されることを確立し、1-型への集合商からの関数の構成や、自由な高階群の2番目のホモトピー群が自明であることを証明することが可能になる。

ABSTRACT

Suppose we are given a graph and want to show a property for all its cycles (closed chains). Induction on the length of cycles does not work since sub-chains of a cycle are not necessarily closed. This paper derives a principle reminiscent of induction for cycles for the case that the graph is given as the symmetric closure of a locally confluent and (co-)well-founded relation. We show that, assuming the property in question is sufficiently nice, it is enough to prove it for the empty cycle and for cycles given by local confluence. Our motivation and application is in the field of homotopy type theory, which allows us to work with the higher-dimensional structures that appear in homotopy theory and in higher category theory, making coherence a central issue. This is in particular true for quotienting - a natural operation which gives a new type for any binary relation on a type and, in order to be well-behaved, cuts off higher structure (set-truncates). The latter makes it hard to characterise the type of maps from a quotient into a higher type, and several open problems stem from this difficulty. We prove our theorem on cycles in a type-theoretic setting and use it to show coherence conditions necessary to eliminate from set-quotients into 1-types, deriving approximations to open problems on free groups and pushouts. We have formalised the main result in the proof assistant Lean.

研究の動機と目的

• 集合商を高階型へ写像する際の整合性問題を解決すること。
• 閉じたジグザグ（サイクル）が非閉じたジグザグから帰納的に生成できないという課題を克服すること。
• well-foundedかつ局所的に整合的な関係の下でのサイクルに対する実用的な帰納法の原理を開発すること。
• 集合上の自由な高階群の2番目のホモトピー群が自明であることをこの原理を用いて証明すること。
• 主な結果をLean証明アシスタントに形式化し、検証すること。

提案手法

• well-foundedおよび局所的整合性に基づくNoether的サイクル帰納法の原理を導入する。
• 非切断された商（coequaliser）から自由な高階群への標準的写像を定義する。
• 定理13の整合性条件を用いる：サイクルは、ターゲットの1-型において自明なループへ写像される。
• 帰納法の原理を用いて、1-型のスパンのコalescenceにおけるすべてのサイクルが自明になることを証明する。
• 集合上のリストが自身で集合であるという事実を活用し、より単純な切断定理を適用可能にする。
• コアとなる結果をLeanに形式化し、正しさと利用可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 well-foundedかつ局所的に整合的な関係によって定義されるグラフ内のサイクルに対して、実用的な帰納法の原理を構築できるか？
• RQ2 決定可能でない等価性を仮定せずに、集合上の自由な高階群におけるすべてのサイクルが自明になることを証明できるか？
• RQ3 集合商から1-型への関数に対して、一般の整合性条件を導出できるか？
• RQ4 Noether的サイクル帰納法の原理により、ホモトピー型理論において明示的な逆写像の構成を回避できるか？
• RQ5 この手法をπ₂を超える高階ホモトピー群の自明性の証明に拡張できるか？

主な発見

• 論文は、∥Ω²(B +ₐ C, i(x))∥₁が集合であることを証明しており、1-型B, Cおよび集合Aに対してπ₂(B +ₐ C) = 0が成り立つことを示している。
• 集合上の自由な高階群の2番目のホモトピー群が自明であることは、HoTTにおける長年の未解決問題を確認したものである。
• 定理13の整合性条件は、サイクルが自明化された場合に、集合商から1-型への関数を構成するのに十分である。
• 主な結果はLeanに形式化されており、正しさと適用可能性が保証されている。
• この手法はコアリスランスおよび自由群に適用可能であり、整合性が局所的整合性と基本ケースの確認に還元されることを示している。
• 定理50の条件が、反例が得られるように緩めると破綻するため、最大限に一般化されたものであることが示された。