[論文レビュー] Coherent extension of partial automorphisms, free amalgamation, and automorphism groups

Daoud Siniora, Sławomir Solecki|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、部分自己同型の整合的拡張を導入し、Herwig–LascarおよびHodkinson–Ottoの拡張定理を強化した、$φ$-自由構造および有限関係的言語上の自由均一構造のFraïsséクラスにおける整合的EPPAの確立を行う。主な貢献は、例えば有理数Urysohn空間や自由均一構造のような構造の自己同型群が、局所的に有限な稠密部分群を含み、豊富な一般化を有することを示したことである。これにより、小指数性質やBergmanの性質といった位相的群論的性質への応用が得られる。

ABSTRACT

We give strengthened versions of the Herwig-Lascar and Hodkinson-Otto extension theorems for partial automorphisms of finite structures. Such strengthenings yield several combinatorial and group-theoretic consequences for homogeneous structures. For instance, we establish a coherent form of the extension property for partial automorphisms for certain Fraisse classes. We deduce from these results that the isometry group of the rational Urysohn space, the automorphism group of the Fraisse limit of any Fraisse class that is the class of all $\mathcal{F}$-free structures (in the Herwig--Lascar sense), and the automorphism group of any free homogeneous structure over a finite relational language, all contain a dense locally finite subgroup. We also show that any free homogeneous structure admits ample generics.

研究の動機と目的

• 自己同型の部分写像に対する拡張性質（EPPA）を、自己同型の拡張における合成構造を保つ整合的バージョンであるcoherent EPPAに強化することで、Herwig–LascarおよびHodkinson–Ottoの拡張定理を強化すること。
• 有限関係的言語上の$φ$-自由構造および自由均一構造のFraïsséクラスが、整合的EPPAを満たすことを確立すること。
• 自己同型群における局所的に有限な稠密部分群および豊富な一般化の存在といった、位相的群論的帰結を導出すること。
• 整合的EPPAと、均一構造の自己同型群の小指数性質およびその他の構造的性質との関連を明らかにすること。

提案手法

• 部分写像の族間の整合的写像の概念を導入し、整合的三重に写された像三重が再び整合的であることを保証する。
• Herwig–LascarおよびHodkinson–Ottoの定理の元々の証明を再編・拡張し、エルゴディック理論からのMackey範囲の使用を含む新技術を導入する。
• 整合的EPPAを$φ$-自由構造のFraïsséクラスおよび自由均一構造に適用し、このようなクラスが整合的EPPA拡張を有することを証明する。
• 整合的EPPAの存在を用いて、均一構造の自己同型群に局所的に有限な稠密部分群を構成する。
• 結合基底条件と均一性を用いて、[9]および[6]の結果を適用し、豊富な一般化を確立する。
• [10]の群論的結果を応用し、自己同型群における小指数性質、非可算な余分類、21-Bergman性質、Serreの性質(FA)を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型の部分写像に対する拡張性質（EPPA）は、自己同型の拡張における合成構造を保つ整合的バージョンに強化可能か？
• RQ2 有限関係的言語上の$φ$-自由構造および自由均一構造のFraïsséクラスにおいて、整合的EPPA性質は成立するか？
• RQ3 整合的EPPAは、均一構造の自己同型群に局所的に有限な稠密部分群の存在を示唆するか？
• RQ4 整合的EPPAを用いて、自由均一構造の自己同型群に豊富な一般化を確立できるか？
• RQ5 整合的EPPAおよび豊富な一般化から、どのような位相的および群論的性質（例：小指数性質、Bergmanの性質）が導かれるか？

主な発見

• 有理数Urysohn空間の自己同型群には、局所的に有限な稠密部分群が存在する。
• 任意の$φ$-自由クラス（Herwig–Lascarの意味で）のFraïssé極限の自己同型群には、局所的に有限な稠密部分群が存在する。
• 有限関係的言語上の任意の自由均一構造の自己同型群には、局所的に有限な稠密部分群が存在する。
• 任意の有限関係的言語上の自由均一構造は、豊富な一般化を有する。
• 任意の有限関係的言語上の自由均一構造の自己同型群は、小指数性質、非可算な余分類、21-Bergman性質、Serreの性質(FA)を有する。