[論文レビュー] Coherent Fluctuations in Noisy Mesoscopic Systems, the Open Quantum SSEP and Free Probability

Ludwig Hruza, Denis Bernard|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2022

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ノイズを持つメゾスコピック量子系における一貫性のある揺動と自由確率論の間の関係を確立し、開放系量子対称簡約排除過程（Q-SSEP）における結合一貫性揺動の時間発展が自由コマリントに支配されることを示している。主な貢献は、自由確率論が非平衡量子一貫性ダイナミクスを記述する自然な数学的言語を提供する新しい枠組みを提示したことである。これにより、一貫性相関の簡単な定常状態解が得られる。

ABSTRACT

Quantum coherences characterise the ability of particles to quantum mechanically interfere within some given distances. In the context of noisy many-body quantum systems these coherences can fluctuate. A simple toy model to study such fluctuations in an out-of-equilibrium setting is the open quantum symmetric simple exclusion process (Q-SSEP) which describes spinless fermions in one dimension hopping to neighbouring sites with random amplitudes coupled between two reservoirs. Here we show that the dynamics of fluctuations of coherences in Q-SSEP have a natural interpretation as free cumulants, a concept from free probability theory. Based on this insight we provide heuristic arguments why we expect free probability theory to be an appropriate framework to describe coherent fluctuations in generic mesoscopic systems where the noise emerges from a coarse-grained description. In the case of Q-SSEP we show how the link to free probability theory can be used to derive the time evolution of connected fluctuations of coherences as well as a simple steady state solution.

研究の動機と目的

• 非平衡量子メゾスコピック系における一貫性揺動を記述する理論的枠組みを構築すること、特に量子干渉やもつれを含む系について。
• このような系における一貫性揺動のダイナミクスを自然に記述する普遍的な数学的構造—自由コマリント—を同定すること。
• 開放量子SSEPが、自由確率論によって結合一貫性相関の正確な解を提供する、取り扱いやすいモデルであることを示すこと。
• マクロな揺動理論を、自由コマリントダイナミクスに従う量子位相を動的変数として含める形で量子系に拡張すること。

提案手法

• 著者らは、非平衡一貫性ダイナミクスを研究するために、確率的遷移振幅を持つスピンなしフェルミオンから成る一次元系として、開放量子SSEPをモデル化した。
• 時間発展における一貫性相関関数は、自由確率論の中心的構成要素である非交差分割のループ期待値として表現された。
• 結合一貫性揺動のダイナミクスは、自由コマリントへの展開により導出され、時間発展は分割のブロック上での微分およびデルタ関数を含むマスター方程式によって支配される。
• 一貫性相関の定常状態解は、空間座標の最小関数として与えられ、ヘヴィサイド関数およびデルタ関数を用いて導出され、定常状態方程式を満たすことが確認された。
• 境界結合に起因する因数分解された分割から生じる非交差分割との間の全単射が確立され、自由コマリントの構造と物理的ダイナミクスの整合性が裏付けられた。
• 時間発展における結合2点関数および高次相関が、自由確率論の恒等式と一致することを示すことにより、フレームワークの妥当性が検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由確率論は、非平衡量子メゾスコピック系における一貫性揺動を記述する自然な数学的枠組みを提供できるか？
• RQ2 開放量子SSEPにおける結合一貫性揺動のダイナミクスは、自由コマリントおよび非交差分割とどのように関係するか？
• RQ3 開放量子SSEPにおける一貫性相関の定常状態解の解析的形は何か？ また、それは自由確率論からどのように導かれるか？
• RQ4 マクロな揺動理論は、自由コマリントダイナミクスを介して、量子位相効果を含む形にどの程度一般化可能か？
• RQ5 Q-SSEPにおける相関関数の因数分解と、自由確率論における非交差分割の組合せ論的構造との間に、構造的対応関係があるか？

主な発見

• 開放量子SSEPにおける結合一貫性揺動の時間発展は、非交差分割上の自由コマリントダイナミクスに直接写像されるマスター方程式によって支配される。
• n点一貫性相関関数の定常状態解は、空間座標の最小値として与えられ、φ∞(x₁,…,xn) = min(x₁,…,xn) であり、ダイナミクスから導出された定常状態方程式を満たす。
• 一貫性揺動のダイナミクスは、自由コマリントの時間発展と等価であり、方程式の構造は関与する分割の非交差性を反映している。
• 境界結合に起因する因数分解された相関構造と非交差分割との間の全単射により、自由確率論フレームワークと物理的モデルとの整合性が確認された。
• 結合2点関数は解析的解を有し、自由確率論の予測と一致しており、最低次の非自明な次数での手法の妥当性が検証された。
• ヘヴィサイド関数およびデルタ関数の使用により、定常状態解の正確な導出が可能となり、最小関数が定常状態方程式の唯一の解であることが確認された。