[論文レビュー] Coherent Sheaves on Ribbons and their Moduli

Michele Savarese|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リボン（滑らかな曲線の面上における1次無限小近傍として定義される非還元的曲線）上の準局所自由な層の存在および半安定性の必要十分条件を、完全型不変量を用いて確立する。また、このような層のモジュライ部分集合の次元を計算し、スミスソンモジュライ空間の既存の結果（一般化されたラインバンドルおよびベクトルバンドル）を高ランク層へと拡張する形で、その全構造の不変成分の構造を予想する。

ABSTRACT

A ribbon is a non-reduced curve modelled on the first infinitesimal neighbourhood of a smooth curve in a surface. This paper is devoted to describe some properties of coherent sheaves on such a curve and their Simpson moduli space. In particular we give necessary and sufficent conditions for the existence of semistable quasi locally free sheaves (in the sense of Drézet) of a fixed complete type and we compute the dimension of the Zariski closure in the moduli space of the locus of semistable quasi locally free sheaves of a fixed complete type. We also show when vector bundles on the reduced subcurve deform to sheaves supported on the ribbon. We find a special kind of non quasi locally free sheaves which, as generalized line bundles, are direct images of quasi locally free sheaves on an appropriate blow up of the ribbon. Finally, we give a conjectural description of the irreducible components of the Simpson moduli space, explaining precisely which parts have already been proved and what lacks for the complete result.

研究の動機と目的

• 準局所自由な層の完全型不変量を用いたリボン上での存在および半安定性の特徴付け。
• 固定された完全型の半安定な準局所自由層の集合のザリスキ閉包の次元の計算。
• 還元された曲線上のベクトルバンドルがリボン上に支持される層へと変形可能となる条件の特定。
• 吹き上げの下での直接像として得られる、非準局所自由な層の特別なクラスを導入・研究し、一般化されたラインバンドルを一般化する。
• 既知の安定性および次元に関する結果に基づき、リボン上の連接層のスミスソンモジュライ空間の全不変成分構造の予想。

提案手法

• 完全型 $((r_0, r_1), (d_0, d_1))$ を用いて準局所自由層を分類し、ここで $r_0, r_1$ はそれぞれ還元された曲線およびノルム部分上のランク、$d_0, d_1$ はそれぞれの次数である。
• ドレジェの、原始的多重曲線（特にリボン）上の層の半安定性理論を適用する。
• リボン上の除数における吹き上げを用いて、非準局所自由な層を吹き上げ上の準局所自由な層へと持ち上げ、安定性解析を可能にする。
• 滑らかな曲線の genus $\bar{g}$ および正規束 $\mathscr{N}$ の次数を用いて次元公式を導出する。主な公式は：$1 + (r_0^2 + r_1^2)(\bar{g}-1) - r_0 r_1 \deg(\mathscr{N})$。
• 変形理論を適用して、$X_{\mathrm{red}}$ 上のベクトルバンドルが $X$ 上の層へと持ち上がる条件を特定する。
• 完全型および一般化されたベクトルバンドルインデックスに基づく、スミスソンモジュライ空間の不変成分への分解の予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された完全型を持つ半安定な準局所自由層がリボン上に存在するための必要十分条件は何か？
• RQ2 固定された完全型を持つ半安定な準局所自由層の集合のザリスキ閉包の次元は何か？
• RQ3 還元された曲線 $X_{\mathrm{red}}$ 上のベクトルバンドルがリボン $X$ 上に支持される層へと変形可能となる条件は何か？
• RQ4 非準局所自由な層は、リボンの吹き上げ上の準局所自由層の直接像としてどのように記述できるか？
• RQ5 リボン上の半安定な連接層のスミスソンモジュライ空間の不変成分は何か？また、一般化されたランクおよび次数に依存するか？

主な発見

• ランク $r_0 > r_1 > 0$ である完全型 $((r_0, r_1), (d_0, d_1))$ を持つ半安定な準局所自由層が、$\bar{g} \geq 2$ であるリボン $X$ 上に存在するための必要十分条件は、$\frac{d_0 + (r_0 + r_1)\deg(\mathscr{N})}{r_0} \leq \frac{d_1}{r_1} \leq \frac{d_0}{r_0}$ であり、安定性のためには厳密な不等号が成立する。
• 次数 $\deg(\mathscr{N}) < 0$ かつ $\bar{g} \geq 2$ のとき、固定された完全型を持つ半安定な準局所自由層の集合の次元は $1 + (r_0^2 + r_1^2)(\bar{g} - 1) - r_0 r_1 \deg(\mathscr{N})$ に等しい。
• リボン $X$ 上の純粋な層 $\mathscr{F}$ で、一般に $\mathscr{O}_X \oplus \mathscr{O}_{X_{\mathrm{red}}}^{\oplus n}$ に同型であるものは、除数 $D \subset X_{\mathrm{red}}$ における吹き上げ $X' \to X$ 上の唯一の準局所自由層の直接像として得られる。
• 一般化されたランク $R$ および次数 $D$ の安定層のモジュライ空間は、固定された完全型を持つ安定な準局所自由層および固定されたインデックス $b < r\delta$ の安定な一般化されたベクトルバンドルに対応する不変成分に分解されると予想される。
• 一般化されたランク 2 ではこの予想は成立し、ランク 3 ではほとんど完全に成立しており、唯一の欠落部分は一般化されたベクトルバンドルの集合の不変性である。
• $\delta = 2\bar{g} - 2$ のとき、モジュライ空間の次元は $X_{\mathrm{red}}$ 上の安定なベクトルバンドルのモジュライ空間の次元と一致し、すなわち $1 + R^2(\bar{g} - 1)$ に等しい。