[論文レビュー] Coherent States for Fractional Powers of the Harmonic Oscillator Hamiltonian

Kristina Giesel|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2021

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 85被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、調和振動子の分数乗を含むハミルトニアンを持つ量子系のための coherent states を、2つのアプローチを用いて開発する。1つは一般化されたディラック正準化と群平均化、もう1つは新規の分数ラベル付き coherent states の構成である。主な貢献は、分数乗の作用素を半古典的に正確に近似し、恒等分解を満たす新しいクラスの coherent states の確立であり、これは量子重力や相対論的モデルにおける信頼できる半古典的解析を可能にする。

ABSTRACT

Inspired by special and general relativistic systems that can have Hamiltonians involving square roots or more general fractional powers, in this article, we address the question of how a suitable set of coherent states for such systems can be obtained. This becomes a relevant topic if the semiclassical sector of a given quantum theory is to be analysed. As a simple setup, we consider the toy model of a deparametrised system with one constraint that involves a fractional power of the harmonic oscillator Hamiltonian operator, and we discuss two approaches to finding suitable coherent states for this system. In the first approach, we consider Dirac quantisation and group averaging, as have been used by Ashtekar et al., but only for integer powers of operators. Our generalisation to fractional powers yields in the case of the toy model a suitable set of coherent states. The second approach is inspired by coherent states based on a fractional Poisson distribution introduced by Laskin, which however turn out not to satisfy all properties to yield good semiclassical results for the operators considered here and in particular do not satisfy a resolution of identity as claimed. Therefore, we present a generalisation of the standard harmonic oscillator coherent states to states involving fractional labels, which approximate the fractional operators in our toy model semiclassically more accurately and satisfy a resolution of identity. In addition, motivated by the way the proof of the resolution of identity is performed, we consider these kind of coherent states also for the polymerised harmonic oscillator and discuss their semiclassical properties.

研究の動機と目的

• 調和振動子のハミルトニアンに分数乗を含む量子系に適した coherent states の開発。
• 従来整数乗に用いられてきたディラック正準化と群平均化の手法を、分数乗へ拡張すること。
• 分数作用素に対して、正確な半古典的近似と恒等分解の両方を満たす coherent states の不足を補うこと。
• 標準的な調和振動子の coherent states を、より良い半古典的挙動を得るための分数ラベルへ一般化すること。
• ポリマー化された調和振動子の文脈において、これらの新しい状態の半古典的性質を調査すること。

提案手法

• 調和振動子ハミルトニアンの分数乗に、ディラック正準化と群平均化を一般化する。
• 半古典的極限において分数作用素をよりよく近似できるように、分数ラベルを有する新しいクラスの coherent states を導入する。
• 分数パラメータを有する修正されたポisson分布に基づく coherent states を構成するが、恒等分解を満たさない。
• 恒等分解の証明構造を用いて、この手法をポリマー化された調和振動子へ一般化する。
• 新しい coherent states を用いて、標準的およびポリマー化モデルにおける半古典的性質を分析する。
• 新規の分数ラベル付き状態とラスキンの分数ポアソンに基づく状態を比較し、後者が恒等分解を満たさないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック正準化と群平均化は、調和振動子ハミルトニアンの分数乗へ一般化可能か？
• RQ2 ラスキンの分数ポアソン分布に基づく coherent states は、恒等分解を満たし、良好な半古典的近似を提供するか？
• RQ3 分数ラベル付きの新しいクラスの coherent states を構成可能か？その状態は、分数作用素を正確に近似し、かつ恒等分解を満たすか？
• RQ4 ポリマー化された調和振動子において、新しい分数ラベル付き coherent states は半古典的極限でどのように性能を発揮するか？
• RQ5 これらの coherent states は、非多項式ハミルトニアンを有する量子重力モデルにおける半古典的解析にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 一般化された群平均化法により、玩具的モデルにおいて分数乗の調和振動子ハミルトニアンのための coherent states が正しく得られた。
• ラスキンの分数ポアソンに基づく coherent states は、文献における主張とは異なり、恒等分解を満たさない。
• 新規の分数ラベル付き coherent states は、標準的状態やラスキンベースの状態よりも、分数作用素に対する半古典的近似が優れている。
• これらの新しい状態は恒等分解を満たしており、量子理論における物理的整合性に不可欠な要件を満たしている。
• これらの状態の構成は、ポリマー化された調和振動子へと拡張可能であり、重要な半古典的性質を保持している。
• この手法は、非多項式ハミルトニアンを有する量子重力モデルにおける信頼できる半古典的解析のフレームワークを提供する。