[論文レビュー] Cohesive fracture with irreversibility: quasistatic evolution for a model subject to fatigue

Vito Crismale, Giuliano Lazzaroni+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 36被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、小変形平面外弾性における cohesive な破壊モデルに対して、エネルギー散逸が亀裂開口ジャンプの全変動に依存する場合の準静的遷移の存在を確立する。このモデルでは、不可逆性が保証され、微小な振動によって疲労誘発破壊が可能になる。主な貢献は、Young 測度を用いた弱形式を用いて、極限過程におけるジャンプ変動の均一な制御が欠如する問題を克服し、厳密な存在証明を達成したことである。この弱形式により、Young 測度がジャンプの真の変動に集中することが示され、極限における解の正しさが保証される。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of quasistatic evolutions for a cohesive fracture on a prescribed crack surface, in small-strain antiplane elasticity. The main feature of the model is that the density of the energy dissipated in the fracture process depends on the total variation of the amplitude of the jump. Thus, any change in the crack opening entails a loss of energy, until the crack is complete. In particular this implies a fatigue phenomenon, i.e., a complete fracture may be produced by oscillation of small jumps. The first step of the existence proof is the construction of approximate evolutions obtained by solving discrete-time incremental minimum problems. The main difficulty in the passage to the continuous-time limit is that we lack of controls on the variations of the jump of the approximate evolutions. Therefore we resort to a weak formulation where the variation of the jump is replaced by a Young measure. Eventually, after proving the existence in this weak formulation, we improve the result by showing that the Young measure is concentrated on a function and coincides with the variation of the jump of the displacement.

研究の動機と目的

• 変位ジャンプの全変動に依存する不可逆的エネルギー散逸を伴う cohesive な破壊をモデル化すること。
• 繰り返し微小な亀裂開口が完全な破壊を引き起こす疲労現象を捉えること。
• 標準的なコンパクト性手法が、ジャンプ変動の制御が不十分なために失敗する状況において、準静的遷移の存在を確立すること。
• 連続時間極限における収束問題を克服するため、Young 測度を用いた弱形式を開発すること。
• Young 測度解が真の変位ジャンプの変動に集中しており、古典的解に回復されることを証明すること。

提案手法

• 準静的遷移を近似するため、離散時間の段階的最小化問題を定式化する。
• ジャンプの変動を一様な境界が得られない場合に対処するため、変動を Young 測度で置き換えた弱形式を導入する。
• 散逸関数 g が凹かつ非減少で、有限の極限を持つという構造を用いて、エネルギーバランスを制御する。
• Young 測度の理論を適用し、連続時間極限に移行し、弱収束を抽出する。
• Young 測度が関数に集中していることを証明し、それが変位ジャンプの全変動に一致することを同定する。
• ジャンプの本質的変動に関する微分的恒等式を用いて、遷移の強い形を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変位ジャンプの全変動に依存する不可逆的エネルギー散逸を伴う cohesive な破壊モデルに対して、準静的遷移を構成することは可能か？
• RQ2 ジャンプ変動の制御が不十分な離散近似において、このような遷移の存在をどのように証明できるか？
• RQ3 繰り返し微小なジャンプが完全な破壊を引き起こす疲労現象は、不可逆的散逸を伴う変分モデルにおいて自然に生じるか？
• RQ4 Young 測度を用いた弱形式は、正しいジャンプ変動を持つ古典的解を回復できるか？
• RQ5 変位およびそのジャンプに関して、極限における遷移の正則性と構造はどのようなものか？

主な発見

• 変位ジャンプの全変動に依存する不可逆的散逸を伴う cohesive な破壊モデルに対して、準静的遷移の存在が確立された。
• 離散時間の段階的最小化問題により、エネルギーと不可逆性のバランスを満たす近似遷移が得られた。
• コンパクト性の欠如を克服するため、Young 測度を用いた弱形式を用いて連続時間極限に移行した。
• Young 測度が関数に集中しており、それが変位ジャンプの全変動に一致することが示された。
• 極限における遷移は、平衡の強い形と散逸バランスを満たしており、変位の法線微分が散逸ポテンシャルの部分微分に一致する。
• 本モデルは疲労現象を捉えている：最大ジャンプ振幅が有界であっても、繰り返し微小なジャンプが完全な破壊を引き起こすことがある。