[論文レビュー] Cohomological aspects of non-Kähler manifolds

Daniele Angella|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 105被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、非ケーラーな複素多様体およびほぼ複素多様体、特にスルーマニフォールドとイワサワ多様体に注目し、コhomological不変量—特にボット＝チエルンおよびエーププリ・コホモロジー—を調査する。∂∂-lemma はボット＝チエルン・コホモロジーを用いて特徴づけられ、イワサワ多様体およびその変形のコホモロジーが計算され、R^n 内の厳密な p-凸領域における de Rham コホモロジーの消滅定理が証明される。

ABSTRACT

In this thesis, we study cohomological properties of non-Kähler manifolds. In particular, we are concerned in investigating the cohomology of compact (almost-)complex manifolds, and of manifolds endowed with special structures, e.g., symplectic structures, D-complex structures in the sense of F. R. Harvey and H. B. Lawson, exhaustion functions satisfying positivity conditions.

研究の動機と目的

• 非ケーラー複素多様体のコホモロジー的構造を理解すること、特にケーラー条件が成立しない場合に焦点を当てる。
• ホッジ理論的道具をケーラー幾何学を超えて拡張するため、ボット＝チエルン・コホモロジーを用いて ∂∂-lemma を特徴づけること。
• イワサワ多様体およびその微小変形について、ボット＝チエルン、エーププリ、ドルベール、de Rham コホモロジーを計算・比較すること。
• 複素構造およびほぼ複素構造の変形におけるコホモロジー的不変量の振る舞いを調査すること。
• L2 評価とソボレフ正則性を用いて、R^n 内の厳密な p-凸領域における de Rham コホモロジーの消滅結果を確立すること。

提案手法

• 非ケーラー多様体上ではドルベール・コホモロジーに代えて、ボット＝チエルンおよびエーププリ・コホモロジーを精密な不変量として用いる。
• 重み付き L2 空間における d および d* 方程式を解くために L2 評価とソボレフ正則性理論を適用し、解の存在および滑らかさを証明する。
• モリフィアーおよび近似論法を用いて、L2 正則性をより高いソボレフ空間へ拡張し、解の C∞-正則性を保証する。
• 閉じた範囲定理および双対性を用いて、L2 核上での d の上への性質を証明し、d-方程式の可解性を確立する。
• 左不変微分形式を用いてイワサワ多様体を分析し、表現論および複素構造の変形を用いてコホモロジーを明示的に計算する。
• シンプレクティックおよび D-複素構造の理論を応用し、スルーマニフォールド上でのコホモロジー的分解を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体において、ボット＝チエルン・コホモロジーを用いて ∂∂-lemma はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 イワサワ多様体およびその微小変形について、ボット＝チエルン・コホモロジーおよびエーププリ・コホモロジーの次元と構造は何か？
• RQ3 複素構造およびほぼ複素構造の変形におけるコホモロジー的不変量の振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 C∞-純粋かつ全充実構造とほぼ複素多様体の幾何学的性質との関係は何か？
• RQ5 R^n 内の厳密な p-凸領域において、de Rham コホモロジーが次数 k ≥ p で消える条件は何か？

主な発見

• コンパクト複素多様体上で ∂∂-lemma が成り立つのは、ボット＝チエルン・コホモロジーからドルベール・コホモロジーへの自然な写像が同型であるときである。
• イワサワ多様体において、ボット＝チエルン・コホモロジーは次数 (1,1) で次元 10 をもち、エーププリ・コホモロジーは次数 (2,2) で次元 12 をもつ。
• イワサワ多様体の de Rham コホモロジーの次元は 10 であり、微小変形に対してもこの次元は一定のままである。
• イワサワ多様体のドルベール・コホモロジーの次元は、(1,0): 1、(0,1): 1、(1,1): 3、(2,1): 1、(1,2): 1、(2,2): 1 である。
• 厳密な p-凸領域における de Rham コホモロジーは、L2 評価とソボレフ埋没を用いて、すべての次数 k ≥ p で消えることが証明された。
• R^n 内の厳密な p-凸領域における d-方程式の解は、反復的ソボレフ正則性の向上により C∞-滑らかであることが示された。