[論文レビュー] Cohomological constraint to deformations of compact Kaehler manifolds

Marco Manetti|ArXiv.org|May 22, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、コンパクト・カーラー多様体の変形の障害が周囲のコホモロジーを消滅させることの代数的証明を確立する。そのために、コンパクト・カーラー多様体の Kodaira-Spencer DGLA からその特異コホモロジーのスパーンされた自己準同型代数への自然な L∞-準同型を構成する。主な結果は、すべての障害類が自然なカップ積写像の核に属することを示し、L∞-理論を用いて変形にコホモロジー的制約を課えるとともに、拡張された変形理論の枠組みをカーラー幾何学へと拡張する。

ABSTRACT

We prove that for every compact Kähler manifold $X$ there exists an $L$-infinity morphism, lifting the usual cup product in cohomology, from the Kodaira-Spencer differential graded Lie algebra to the suspension of the space of linear endomorphisms of the singular cohomology of $X$. As a consequence we get an algebraic proof of the principle ``obstructions to deformations of compact Kaehler manifolds annihilate ambient cohomology''.

研究の動機と目的

• コンパクト・カーラー多様体の変形障害が周囲のコホモロジーを消滅させることの原則を、Clemens や Ran が解析的手法によって以前に確立したのと同様に、代数的証明を提供すること。
• コンパクト・カーラー多様体の Kodaira-Spencer DGLA からその特異コホモロジーのスパーンされた自己準同型代数への自然な L∞-準同型を構成し、カップ積構造を上に引き上げること。
• カップ積と縮約によって誘導される自然な写像の核に障害類が属することを示し、コホモロジー的制約を確立すること。
• 標的にある DGLA 構造が自明（微分と括弧積がゼロ）であることを利用して、形式的変形理論を用いて変形の非障害性および普遍性に直接応用できることを示すこと。

提案手法

• カップ積写像 H∗(X, TX) ⊗ H∗(X, Ω∗X) → H∗(X, Ω∗−1X) を、Kodaira-Spencer DGLA KSX からスパーンされた自己準同型代数 M[−1]X への L∞-準同型へ上昇させること。
• カーラー計量を用いて、次数付き写像 θ: H∗(KSX) → M[−1]X を L∞-準同型へ自然に上昇させること。
• Schlessinger の理論と DGLA 間の L∞-準同型の形式的記法を用い、変形函手と障害写像を関連させること。
• M[−1]X が自明な DGLA 構造（微分と括弧積がゼロ）を持つことを利用して、障害類が線形写像 θ2 の核に属することを導出すること。
• 指数写像と対称コアルゲブラ構造を通じて、DefKSX → DefM[−1]X への自然変換 eΘ を構成すること。
• コホモロジー上の誘導写像を用いて、任意の小さな拡大 J に対して H2(X, TX) ⊗ J に属する障害類が θ2 の核に modulo 属することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・カーラー多様体の変形障害が周囲のコホモロジーを消滅させるという原則を、解析的ではなく代数的手段によって証明できるか？
• RQ2 コンパクト・カーラー多様体の Kodaira-Spencer DGLA からその特異コホモロジーのスパーンされた自己準同型代数への自然な L∞-準同型が存在するか？
• RQ3 接空間および余接空間のコホモロジー上のカップ積構造は、変形の障害理論とどのように関係するか？
• RQ4 標的にある DGLA 構造が自明であるという事実が、変形空間の幾何にどのような意味を持つのか？

主な発見

• カップ積写像 H∗(X, TX) ⊗ H∗(X, Ω∗X) → H∗(X, Ω∗−1X) は、Kodaira-Spencer DGLA から特異コホモロジーのスパーンされた自己準同型代数への自然な L∞-準同型へ上昇する。
• 任意の小さな拡大 J に対して H2(X, TX) ⊗ J に属する障害類は、写像 θ2: H2(X, TX) → ⊕_{r,s} HomC(Hr(ΩsX), Hr+2(Ωs−1X)) の核に属する。これはコホモロジー的制約を証明する。
• 写像 α1: H1(Y, TY) → H1(X, TX) と θ1 の合成が単射であれば、変形 f: Y → B は普遍的である。
• 写像 α2: H2(Y, TY) → H2(X, TX) と θ2 の合成が単射であれば、半普遍変形の基底空間 B は滑らかである。
• 正則な canonical bundle が torsion である射影的 Calabi-Yau 多様体 Y とその canonical covering π: X → Y に対して、すべての写像 αp は単射であり、非障害的変形が成立する。
• 次元 ≥3 で H2(OZ)=0 を満たす Calabi-Yau 多様体 Z とその滑らかなガロア二重被覆 π: Y → Z に対して、写像 θ2 は単射であるため、Y は非障害的である。