[論文レビュー] Cohomological Hall algebras, their categorification, and their representations via torsion pairs

Duiliu-Emanuel Diaconescu, Mauro Porta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、torsion pair と tilting を用いた新規フレームワークを導入し、従来の COHA の生成限界（正部分のみ）を克服して、完全な共通ホモロジー代数（COHA）およびそのカテゴリフィケーションを構成する。安定な ∞-圏を torsion pair (T, F) で分解することで、部分圏 T から COHA を構成し、部分圏 F からその左および右表現を実現することで、正負の作用素を含む完全な代数を生成する。主な貢献は、滑らかな曲面上の層および安定ペアのモジュライ空間のコホモロジーへのアフィンヤンギアン作用のカテゴリフィケーションであり、また、ナカジマ・キーバー多様体上のクオーラの2次元 COHA のカテゴリフィケーションである。

ABSTRACT

In this paper we provide a systematic way of producing representations of cohomological, K-theoretical and categorified Hall algebras, and study the output of our construction in several cases. We thus recover and categorify in a unified framework the action of the COHA of a quiver on the cohomology of Nakajima quiver variety, the action of the COHA of zero-dimensional sheaves on the the cohomology of Hilbert schemes of points and moduli spaces of Gieseker-stable sheaves on smooth surfaces, recovering the constructions of Neguţ and DeHority. We also obtain new examples, associated to Pandharipande-Thomas stable pairs. Along the way, we explain carefully under which conditions one can associate to a pair $(\mathscr{C},τ)$ consisting of a stable $\infty$-category with a t-structure a COHA. This requires a careful analysis and extension of Khan's theory of motivic Borel-Moore homology to the non quasi-compact setting, and it allows to produce new examples of COHAs arising from Bridgeland's stability conditions. The representations that we construct take an extra categorical input: that of a torsion pair $(\mathscr{T},\mathscr{F})$ on the heart $\mathscr{C}^\heartsuit$ of $τ$. Under favorable conditions, the homology of the moduli stack associated to $\mathscr{T}$ acquires a Hall multiplication, that acts both on the left and on the right on the homology of the moduli stack associated to $\mathscr{F}$. The left action generalizes and categorifies Nakajima's positive operators, while the right action corresponds to negative operators.

研究の動機と目的

• COHA/KHA理論における長年の限界、すなわち完全な代数の『正部分』しか生成しないという問題を解決すること。
• クオーラにとどまらず、滑らかな曲面などの幾何的設定へ、ヤンギアンなどの完全な代数の構成を拡張すること。
• 導来圏およびモチーフ的 Borel-Moore コホモロジーを用いて、COHA表現のカテゴリフィケーションを提供すること。
• t-構造および torsion pair を用いて、既存の COHA 及びその表現の構成を統一的かつ一般化すること。
• 既知の作用、例えば Gieseker 安定層および曲面上の安定ペアのモジュライ空間のコホモロジーへのアフィンヤンギアン作用を回復・カテゴリフィケーションすること。

提案手法

• 安定な ∞-圏 C に t-構造 τ とそのハート C♡ に torsion pair (T, F) を与えることで、圏を分解する。
• 非準密なスタックに適応されたモチーフ的 Borel-Moore コホモロジー枠組みを用いて、部分圏 T から COHA（およびそのカテゴリフィケーション）を構成する。
• 部分圏 F から COHA の左および右表現を定義し、左作用は正作用素に対応し、右作用は負作用素に対応する。
• 滑らかな射影的曲面上の torsion pair にこの形式を適用し、Gieseker 安定層のモジュライ空間のコホモロジーへのアフィンヤンギアン作用を回復する。
• 修正された手法を用いて、Pandharipande-Thomas 安定ペアの導来モジュライスタックおよびモチーフ的 Borel-Moore コホモロジーを用いて、曲面上の 0 次元層の COHA 及び CatHA の表現を構築する。
• Khan のモチーフ的 Borel-Moore コホモロジー枠組みを用い、非準密な導来スタックへ拡張することで、一般の t-構造からの COHA の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t-構造および torsion pair を持つ安定な ∞-圏から、完全な共通ホモロジー代数（COHA）をどのように構成できるか。
• RQ2 曲面上の Gieseker 安定層のモジュライ空間のコホモロジーへのアフィンヤンギアン作用は、torsion pair を用いてカテゴリフィケーション可能か。
• RQ3 tilting 理論およびフラグ拡張は、標準的な拡張に基づく構成を超えて COHA の表現を生成する上で果たす役割は何か。
• RQ4 非準密な導来スタックにモチーフ的 Borel-Moore コホモロジーをどのように適応させ、COHA の構成を支援できるか。
• RQ5 このフレームワークは、ナカジマ・キーバー多様体のコホモロジーへのクオーラの2次元 COHA の作用を回復・カテゴリフィケーション可能か。

主な発見

• 安定な ∞-プロ圏 Cohb_pro(Rep(ΠQ)) は E1-モノイド構造を備え、クオーラの2次元 COHA を実現する。
• 安定な ∞-プロ圏 Cohb_pro(RepF(ΠQw)) は Cohb_pro(Rep(ΠQ)) の左カテゴリカルモジュールであり、クオーラ多様体上の COHA の左作用をカテゴリフィケーションする。
• 各次元ベクトル w∞=1 に対して、スタック RepF(ΠQw; v, 1) はナカジマ・キーバー多様体 MQ,θ(v, w) 上の Gm-gerbe であり、MQ,θ(v, w) のコホモロジーは COHA に対する左カテゴリカルモジュール構造を持つ。
• モチーフ的 Borel-Moore コホモロジー HD,Γ_0(RepF(ΠQw); A) は HD,Γ_0(Rep(ΠQ); A) の左モジュールであり、COHA の作用のモチーフ的カテゴリフィケーションを提供する。
• このフレームワークは、曲面上の Gieseker 安定層のモジュライ空間のコホモロジーへのアフィンヤンギアン作用を回復し、導来圏によるカテゴリフィケーションを提供する。
• 修正された構成により、Pandharipande-Thomas 安定ペアの導来モジュライスタックのモチーフ的 Borel-Moore コホモロジーを用いて、曲面上の 0 次元層の COHA 及び CatHA の表現が、層の拡張ではなくフラグ拡張を用いて得られる。