[論文レビュー] Cohomological Hasse principle and resolution of quotient singularities

Moritz Kerz, Shuji Saito|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、商特異点の解消における特異点除法的除法の双対複体のホモトピー型について、幾何的問題をカトのコhomological Hasseの原理に還元することにより、McKayの原理を確立する。解消における特異点除法的除法の双対複体が、G-可換解消における双対複体の商とホモトピー同値であることを示し、特異点が孤立している場合に双対複体が収縮可能であるという主要結果に至る。これは、特性0の体または特異点の解消をもつ完全体上での孤立商特異点に対して成り立つ。

ABSTRACT

In this paper we study weight homology of singular schemes. Weight homology is an invariant of a singular scheme defined in terms of hypercoverings of resolution of singularities. Our main result is McKay principle for weight homology of quotient singularities, i.e. we describe weight homology of a quotient scheme in terms of weight homology of an equivariant scheme. Our method is to reduce the geometric McKay principle for weight homology to Kato's cohomological Hasse principle for arithmetic schemes. The McKay principle for weight homology implies McKay principle for the homotopy type of the dual complex of the exceptional divisors of a resolution of a quotient singularity. As a consequence we show that the dual complex is contractible for isolated quotient singularities.

研究の動機と目的

• 商特異点の解消における特異点除法的除法の双対複体のホモトピー型について、McKayの原理を確立すること。
• 重みホモロジーを通じて、商特異点 $X/G$ の解消の幾何と $X$ の $G$-可換幾何とを関連させること。
• 商特異点 $X/G$ の解消における特異点除法的除法の双対複体 $\Gamma(E_S)$ が、特異点の軌道が孤立している場合に収縮可能であることを示すこと。
• 幾何的McKayの原理を、算術的スキームにおけるカトのコhomological Hasseの原理に還元すること。
• 標準的写像 $\phi: \Gamma(E_T)/G \to \Gamma(E_S)$ がホモロジー群および基本群に同型を誘導することを証明し、特定の条件下でホモトピー同値を示すこと。

提案手法

• 特異点の解消のハイパーカバーイングを用いて定義される、特異的スキームの不変量としての重みホモロジーを用いる。
• 幾何的McKayの原理を算術的降下性の性質に還元するために、カトのコhomological Hasseの原理を適用する。
• G-スキームの文脈におけるホモロジー関手の降下技術を用いて、可換重みホモロジーを用いる。
• 特性0または完全体上での特異点の標準的解消を用いて、滑らかで $G$-可換な解消の存在を保証する。
• 双対複体を $cs$-被覆およびホモトピー同値を通じて関連付けるために、$\widetilde{X}/G$、$\widetilde{Y}$、$\widetilde{Y}'$ を関連付ける可換図式を構成する。
• ホワイトヘッドおよびヒューリッジの定理を適用して、ホモロジー群および基本群の同型からホモトピー同値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商特異点 $X/G$ の解消における特異点除法的除法の双対複体は、$X$ の $G$-可換幾何に依存するホモトピー型を持つだろうか？
• RQ2 コhomological降下を用いて、双対複体のホモトピー型に関するMcKayの原理を確立できるだろうか？
• RQ3 商特異点 $X/G$ の特異点の軌道が孤立している場合、双対複体 $\Gamma(E_S)$ は収縮可能だろうか？
• RQ4 標準的写像 $\phi: \Gamma(E_T)/G \to \Gamma(E_S)$ は、ホモロジー群および基本群に同型を誘導するだろうか？
• RQ5 可換解消 $\widetilde{X}$ の重みホモロジーを用いて、$X/G$ の解消 $\widetilde{Y}$ の重みホモロジーを計算できるだろうか？

主な発見

• 標準的写像 $\phi: \Gamma(E_T)/G \to \Gamma(E_S)$ は、すべてのホモロジー群 $H_a$（$a \in \mathbb{Z}$）に同型を誘導する。
• 写像 $\phi$ は基本群 $\pi_1$ に対しても同型を誘導する。
• もし $\Gamma(E_T)/G$ が単連結であれば、$\phi$ はホモトピー同値である。
• もし $\Gamma(E_T)/G$ が収縮可能であれば、$\Gamma(E_S)$ も収縮可能である。
• もし $T$ が滑らかであれば（例えば特異点の軌道が孤立している場合）、$\Gamma(E_S)$ は収縮可能である。
• この結果は、特性0の体または特異点の解消をもつ完全体上でも成り立ち、ステパノフの定理を可換設定に一般化する。