[論文レビュー] Cohomologie d'intersection des variétés modulaires de Siegel, suite

Sophie Morel|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Kottwitzの手法と基本的補題を用いて固定点公式を安定化させることで、Siegelモジュラー多様体の交差コホモロジーに対する安定したトレース公式を確立する。Kottwitz（1990）の予想を、GSp_{2n}の内挿的群上の安定分布の和として、交差コホモロジー上でのヘッケ作用素とフロベニウスのべきの合成作用のトレースを表現することによって証明する。GSp_4およびGSp_6に対しては、Arthurの予想に依存しない応用が得られる。

ABSTRACT

In this work, we study the intersection cohomology of Siegel modular varieties. The goal is to express the trace of a Hecke operator composed with a power of the Frobenius endomorphism (at a good place) on this cohomology in terms of the geometric side of Arthur's invariant trace formula for well-chosen test functions. Our main tools are the results of Kottwitz about the contribution of the cohomology with compact support and about the stabilization of the trace formula, Arthur's $L^2$ trace formula and the fixed point formula of the author. We "stabilize" this last formula, ie express it as a sum of stable distributions on the general symplectic groups and its endoscopic groups, and obtain the formula conjectured by Kottwitz. Applications of the results of this article have already been given by Kottwitz, assuming Arthur's conjectures. Here, we give weaker unconditional applications in the cases of the groups $\mathrm{GSp}_4$ and $\mathrm{GSp}_6$.

研究の動機と目的

• Siegelモジュラー多様体の交差コホモロジー上でのヘッケ作用素とフロベニウスのべきの合成作用のトレースを、安定分布の言語で表現すること。
• GSp_{2n}に関連する非コンパクトシャイマーヴァのコホモロジーに対する固定点公式を、内挿的転送を用いて安定化すること。
• Arthurの予想に依存しない形で、GSp_4およびGSp_6の場合におけるKottwitzの予想の明示的応用を提供すること。
• Kottwitzによるトレース公式の幾何的側の安定化を、リーマン部分群および内挿的群を用いて非楕円項へ拡張すること。
• コンパクトな場合を越えて、主な技術的難関であるアーキメデス的寄与を処理すること。

提案手法

• Grothendieck-Lefschetzの固定点公式を用い、交差コホモロジー上のトレースを幾何的データと関連付ける。
• ArthurのL^2トレース公式およびKottwitzのコンパクトな補題付きコホモロジーに関する結果を適用し、トレースを分解する。
• GSp_{2n}およびその内挿的群上の安定分布の和として固定点公式を安定化する。
• 基本的補題およびねじれ基本的補題（Laumon-NgoおよびWaldspurgerによる）を用い、軌道積分の転送を保証する。
• アーキメデス的部を、正確な正規化および特徴の転送を通じて処理し、Kottwitzの手法を単純接続でない内挿的群へ拡張する。
• 内挿的データ（三つ組 (H,s,η₀)）を用いて安定分布をパrametrizeし、f^∞からf_H^{(j)}を定義する転送関数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Siegelモジュラー多様体の交差コホモロジー上でのヘッケ作用素とフロベニウスのべきの合成作用のトレースを、幾何学的にどのように表現できるか？
• RQ2 この文脈において、GSp_{2n}およびその内挿的群に対する安定トレース公式の明確な形は何か？
• RQ3 トレース公式の幾何的側に関するKottwitzの予想は、GSp_4およびGSp_6に対して、Arthurの予想を仮定せずに証明可能か？
• RQ4 固定点公式の安定化は、楕円項に限らず、非楕円項へどのように拡張されるか？
• RQ5 リーマン部分群およびその内挿的群は、アーキメデス的場において安定化プロセスにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、Kottwitz（1990）[K7]の予想を証明し、交差コホモロジー上でのトレースを内挿的群上の安定分布の和として表現する。
• GSp_4およびGSp_6に対しては、結果が条件なしに成立し、Arthurの予想に依存しない明示的公式が得られる。
• 固定点公式の安定化は、基本的補題およびそのねじれ版を用いた軌道積分の転送によって達成される。
• アーキメデス的寄与は、リーマン部分群およびその内挿的データの詳細な解析を通じて安定化され、Kottwitzの手法が拡張される。
• 公式は、Tr(Frob_p^j × f^∞, IH^*(S^K, V)) を、内挿的三つ組 (H,s,η₀) に関する安定軌道積分 ST^H(f_H^{(j)}) の和として表現する。
• 転送関数 f_H^{(j)} は f^∞、j、および表現 V から明示的に構成され、トレース公式と整合的であることが保証される。