[論文レビュー] Cohomologie $L^p$ en degr\\'e 1 des espaces homog\\`enes

Pierre Pansu|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非コンパクトなリーマン多様体の同次空間について、1次元における$L^p$-コホモロジーを計算し、縮小$L^p$-コホモロジーが非自明であるのは、空間が負に曲がった同次空間にクアイソメトリックである場合に限ることを示している。主な結果は三つに分けられる：コホモロジーは、空間が無限遠で閉じている（ねじれが存在する）か、または負に曲がった空間と可換である（$p > \mathbf{p}(M)$のとき非自明な縮小コホモロジーを持つ）場合を除いて消える。

ABSTRACT

The $L^p$-cohomology in degree 1 of Riemannian homogeneous spaces is computed. It turns out that reduced cohomology does not vanish exactly for spaces quasiisometric to negatively curved homogeneous spaces.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなリーマン多様体の同次空間について、1次元における$L^p$-コホモロジーを計算すること。
• 縮小$L^p$-コホモロジー$R^{1,p}(M)$が非自明である条件を特定すること。
• コホモロジー$H^{1,p}(M)$および$R^{1,p}(M)$の消えるか否かに基づいて、同次空間を分類すること。
• 非自明な縮小コホモロジーが、厳密に負の曲がりを持つ空間にクアイソメトリックである空間にのみ現れることを確立すること。
• 臨界指数$\mathbf{p}(M)$が、負に曲がった空間の境界のハウスドルフ次元といった幾何的不変量とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 左不変計量を備えたリー群に問題を還元するために、$L^p$-コホモロジーのクアイソメトリック不変性を利用すること。
• H. Hokeによる、無限遠で閉じているリー群の特徴付けを応用して、ねじれを持つ最初のクラスの空間を特定すること。
• E. Heintzeによる、負の断面曲率を持つ同次空間の分類を活用して、第二のクラスの空間を特定すること。
• Besov空間および$L^p$-調和形式の理論を用いて、特に$p=2$のときの$R^{1,p}(M)$の構造を分析すること。
• ワーパード積の$L^p$-コホモロジーに対するKünneth公式および対称空間の$L^p$-コホモロジーに関する結果を応用すること。
• von Neumann次元および$L^2$-ベッチ数の理論を用いて、無限遠で閉じている空間では非自明な$R^{1,2}(M)$が存在しないことを排除すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの非コンパクトなリーマン多様体の同次空間について、1次元における$L^p$-コホモロジーが非自明になるか？
• RQ2 非ゼロの縮小$L^p$-コホモロジー$R^{1,p}(M)$を持つ空間はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 臨界指数$\mathbf{p}(M)$は、境界のハウスドルフ次元といった幾何的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 $L^p$-コホモロジーは、無限遠で閉じている空間と負に曲がった空間を区別できるか？
• RQ5 ねじれ$T^{1,p}(M)$が消える条件は何か？また、$R^{1,p}(M)$が非自明になる条件は何か？

主な発見

• $H^{1,p}(M)$は、$M$が無限遠で閉じているか、または負に曲がった同次空間と可換である場合を除き、すべての$p > 1$に対して消える。
• 無限遠で閉じている空間では、すべての$p > 1$に対して$T^{1,p}(M) \neq 0$かつ$R^{1,p}(M) = 0$であり、これは非自明なねじれだが、縮小コホモロジーが存在しないことを示している。
• 負に曲がった同次空間と可換な空間では、$T^{1,p}(M) = 0$かつ$R^{1,p}(M) \neq 0$となるのは、$p > \mathbf{p}(M)$のときであり、ここで$\mathbf{p}(M)$は、双曲平面を除き少なくとも2である。
• $\mathbf{p}(M)$は、負に曲がった空間では境界のハウスドルフ次元に等しく、命題24で示されている。
• $p > \mathbf{p}(M)$のとき、縮小コホモロジー$R^{1,p}(M)$は、境界のハウスドルフ次元のBesov空間$B^{p,p}_{1/p}$を定数を除いて同型に持つ。
• 非定数の$L^2$-調和関数で$L^2$勾配を持つ唯一の同次空間は、双曲平面にクアイソメトリックであるものであり、これは系3によるものである。