[論文レビュー] Cohomologie p-adique de la tour de Drinfeld: le cas de la dimension 1

Pierre Colmez, Gabriel Dospinescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ドリンフェルトの $p$-進上半平面の被覆の $p$-進幾何的エタールコホモロジーを計算し、基礎体が $\mathbf{Q}_p$ の場合、このコホモロジーがホッジ＝テイト重量 0 と 1 を持つ 2 次元の de Rham 表現に対する $p$-進局所ラングランズ対応を実現することを示している。主な結果は、ウェイル＝デリーニュ表現とその関連対象を含むホモロジー空間の同型を通じて、コホモロジーとジャケット＝ラングランズおよび $p$-進ラングランズ対応の明確な関係を確立するものである。

ABSTRACT

We compute the p-adic geometric étale cohomology of the coverings of Drinfeld's half-plane, and we show that, if the base field is Q_p, this cohomology encodes the p-adic local Langlands correspondence for 2-dimensional de Rham representations (of weight 0 and 1).

研究の動機と目的

• ドリンフェルトの $p$-進上半平面の被覆の $p$-進幾何的エタールコホモロジーの構造を理解すること。
• このコホモロジーが、$\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ に対する仮想の $p$-進局所ラングランズ対応を符号化しているかどうかを調査すること。
• ホッジ＝テイト重量 0 と 1 を持つ 2 次元の de Rham 表現に対する $p$-進局所ラングランズ対応の幾何的実現を確立すること。
• エタール被覆の剛体解析的空間の $p$-進コホモロジーの振る舞いを調べること。当初の期待とは対照的に、このようなコホモロジーが取り扱いにくいと予想されていたが、その限界を検証すること。

提案手法

• ドリンフェルトの上半平面の無限被覆 $\mathscr{M}_\infty$ の $p$-進幾何的エタールコホモロジーの計算。
• 被覆の塔のコホモロジーを分析するために、ペルフェクトイド技術の使用。
• コンパクトな台付き de Rham コホモロジーの適用により、$\mathscr{M}_\infty$ のコホモロジー的構造を研究すること。
• コホモロジカル実現を通じて、局所的およびグローバルなラングランズ対応の整合性を確立すること。
• シュタイナーベルグ表現およびその連続的双対を、コホモロジーの主要な構成要素として用いること。
• $\mathrm{GL}_2(F) \times \mathscr{G}_F$ の作用を活用し、ガロア表現と自動形式的データを関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルトの塔の $p$-進エタールコホモロジーは、$\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ に対する $p$-進局所ラングランズ対応を実現するか？
• RQ2 ドリンフェルトの上半平面のエタール被覆のコホモロジーは、特に共適性および表現論的構造の観点でどのように振る舞うか？
• RQ3 コホモロジーの塔 $\mathscr{M}_\infty$ を用いて、ホッジ＝テイト重量 0 と 1 を持つ de Rham 表現に対する $p$-進局所ラングランズ対応を幾何的に構成できるか？
• RQ4 コホモロジー $\mathscr{M}_\infty$ とジャケット＝ラングランズおよび $p$-進ラングランズ対応との正確な関係は何か？
• RQ5 当初の期待とは対照的に、取り扱いにくさが予想されたにもかかわらず、これらの被覆のコホモロジーはどの程度計算可能で構造的であるか？

主な発見

• ドリンフェルトの上半平面 $\Omega_{\mathrm{Dr}}$ の $p$-進幾何的エタールコホモロジーは、$\mathrm{GL}_2(F) \times \mathscr{G}_F$-表現として、$\mathbf{Q}_p$ 上のシュタイナーベルグ表現の連続的双対と同型であり、ガロア作用が自明である。
• $F = \mathbf{Q}_p$ の場合、コホモロジー $H^1_{\mathrm{ét}}(\mathscr{M}_\infty, \mathbf{Q}_p(1))$ は、ホッジ＝テイト重量 0 と 1 を持つ 2 次元 de Rham 表現に対する $p$-進局所ラングランズ対応を実現する。
• 標準的同型 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{W}_{\mathbf{Q}_p}}(V, H^1_{\mathrm{ét}}(\mathscr{M}_\infty, \mathbf{Q}_p(1))) \cong \mathrm{JL}(V) \otimes \Pi(V)^*$ が存在する。ここで $\mathrm{JL}(V)$ はジャケット＝ラングランズ上昇、$\Pi(V)^*$ は $V$ の $p$-進ラングランズ双対である。
• コホモロジーの塔 $\mathscr{M}_\infty$ は、基本ケースからの予想とは対照的に、$\mathrm{GL}_2(F)$-表現として共適ではない。
• このコホモロジーは、古典的な $\ell$-進の場合を一般化するが、$p$-進設定において局所ラングランズ対応を符号化する形で機能する。
• 結果として、指定されたクラスの表現に対する $p$-進局所ラングランズ対応の幾何的構成が得られ、剛体解析的幾何およびペルフェクトイド空間を通じた新しい視点が提供される。