[論文レビュー] Cohomologie quantique orbifolde des espaces projectifs a poids

Étienne Mann|ArXiv.org|Oct 16, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、2001年におけるBarannikovの複素射影空間の量子コhomologyに関する結果を一般化し、重み $w_0, \ldots, w_n$ を持つ重み付き射影空間のオルビフォールド量子コhomologyと、多項式 $f(u_0,\ldots,u_n) = u_0 + \cdots + u_n$ を超曲面 $\prod u_i^{w_i} = 1$ に制限したもとでのフォーブルス多様体構造との間の同型を、オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量に関する予想の下で確立する。この結果により、フォーブルス多様体構造を通じて、鏡映性対応がオルビフォールド設定へ拡張される。

ABSTRACT

In 2001, S. Barannikov showed that the Frobenius manifold coming from the quantum cohomology of the complex projective space is isomorphic to the Frobenius manifold attached to some Laurent polynomial. The purpose of this thesis is to generalize this result. More precisely, we show, up to a conjecture on the value of some orbifold Gromov-Witten invariants, that the Frobenius structure obtained on the orbifold quantum cohomology of the weighted projective spaces is isomorphic to the one attached to some Laurent polynomial.

研究の動機と目的

• 複素射影空間 $\mathbb{P}^n$ の量子コhomologyのフォーブルス多様体構造に関するBarannikovの2001年結果を、オルビフォールド設定へ拡張すること。
• 重み付き射影空間のオルビフォールド量子コhomologyと、特定のローラン多項式に関連するフォーブルス多様体との間の鏡映性対応を確立すること。
• オルビフォールド量子コhomologyのフォーブルス構造が、ローラン多項式 $f(u_0,\ldots,u_n) = \sum u_i$ を超曲面 $\prod u_i^{w_i} = 1$ に制限したもとでの、ブリースコルン格子とガウス＝マインシステムの構造と一致することを確認すること。
• 同型を確立するために不可欠な、オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の値に関する予想を提示・分析すること。

提案手法

• オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量を用いて、重み付き射影空間 $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ のオルビフォールド量子コhomologyを構成する。
• これらの不変量とオルビフォールド・ポincare双対性に基づき、オルビフォールド量子コhomology上にフォーブルス多様体構造を潜在関数を用いて定義する。
• ローラン多項式 $f(u_0,\ldots,u_n) = \sum u_i$ を超曲面 $\prod u_i^{w_i} = 1$ に制限したもとでのガウス＝マインシステムとブリースコルン格子を用いて、第二のフォーブルス多様体構造を定義する。
• 初期条件とフラット構造の比較を通じて、二つのフォーブルス多様体の間の対応関係を確立する。
• フォーブルス多様体の理論とデュブロヴィン同型定理を用いて、量子コhomologyとブリースコルン格子構成との関係を結ぶ。
• オルビフォールド・チェーン＝ウェイ理論とオルビフォールド微分形式を用いて、オルビフォールド圏における特徴類とコホモロジーを定義・計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オルビフォールド量子コhomologyのフォーブルス多様体構造は、超曲面 $\prod u_i^{w_i} = 1$ に制限されたローラン多項式 $f(u_0,\ldots,u_n) = \sum u_i$ から得られるフォーブルス多様体と同型であるか？
• RQ2 オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量は、量子コhomologyの潜在関数とそのフォーブルス構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ3 オルビフォールド・ポincare双対性と $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ 上のカップ積構造は、ローラン多項式のブリースコルン格子とガウス＝マインシステムとどのように関係するか？
• RQ4 デュブロヴィン同型定理は、オルビフォールド設定へ拡張可能であり、量子コhomologyとブリースコルン格子を結ぶか？
• RQ5 同型を確立するために必要な、オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量の値に関する正確な予想の形は何か？

主な発見

• オルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量に関する予想を仮定すれば、重み付き射影空間 $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ のオルビフォールド量子コhomologyのフォーブルス多様体構造は、超曲面 $\prod u_i^{w_i} = 1$ に制限されたローラン多項式 $f(u_0,\ldots,u_n) = \sum u_i$ から得られるブリースコルン格子のフォーブルス多様体構造と同型である。
• オルビフォールド量子コhomologyは、フラットで非退化な双線形形式と、可換かつ結合的な積を持ち、WDVV方程式を満たす。
• オルビフォールド量子コhomologyの潜在関数は、 genus 0 のオルビフォールド・グロモフ＝ウィッテン不変量によって生成され、これらはブリースコルン格子の周期と一致すると予想されている。
• オルビフォールドコホモロジー環 $\mathbb{P}(w_0,\ldots,w_n)$ は、商スタック $[\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\} / \mu_{w_0} \times \cdots \times \mu_{w_n}]$ のコホモロジーと同型であり、鏡映性対応を支持する。
• オルビフォールドカップ積とポincare双対性は明示的に計算され、ブリースコルン格子上のフォーブルス構造と整合的であることが示された。
• デュブロヴィン形式論における初期条件の一致を通じて、二つのフォーブルス多様体間の同型が確立され、これはグロモフ＝ウィッテン不変量の予想的値に依存している。