[論文レビュー] Cohomologies of coherent sheaves and massless spectra in F-theory

Martin Bies|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 8

ひとこと要約

本博士論文は、F-theoryコンpactificationにおける非プルバック線束の層コhomologyを計算するための計算ツールを開発し、GUTモデルにおける chirality 0モードの数え上げに不可欠である。gapパッケージ SheafCohomologiesOnToricVarieties にアルゴリズムを実装することで、トーリック多様体上のコホモロジー計算が可能となり、従来の手法における主要な制限が解消された。また、物質表面フラックスが異常キャンセレーションに関連するチャウ環内の関係を満たすことが判明した。

ABSTRACT

In this PhD thesis we investigate the significance of Chow groups for zero mode counting and anomaly cancellation in F-theory vacua. The major part of this thesis focuses on zero mode counting. We explain that elements of Chow group describe a subset of gauge backgrounds and give rise to a line bundle on each matter curve. The sheaf cohomologies of these line bundles are found to encode the chiral and anti-chiral localised zero modes in this compactification. Therefore, it is of prime interest to compute these sheaf cohomologies. Unfortunately, the line bundles in question are in general non-pullback line bundles. In particular, this is the case for the hypercharge flux employed in F-theory models of grand unified theories (GUTs). Consequently, existing methods, such as the cohomCalg-algorithm, cannot be applied. In collaboration with the mathematician Mohamed Barakat, we have therefore implemented algorithms which determine the sheaf cohomologies of all coherent sheaves on toric varieties. These algorithms are provided by the gap-package SheafCohomologiesOnToricVarieties which extends the homalg-project of Mohamed Barakat. We exemplify these algorithms in explicit (toy-)models of F-theory GUTs. As a spin-off of this analysis, we proved that in an entire class of F-theory vacua, the matter surface fluxes satisfy a number of relations in the Chow ring, which we related to anomaly cancellation. Based on this evidence we conjecture that the well-known anomaly cancellation conditions in F-theory - typically phrased as intersections in the cohomology ring - can be extended even to relations in the Chow ring.

研究の動機と目的

• F-theoryコンパクト化における物質曲線上の線束の層コホモロジーを計算し、その中に chirality および反 chirality 0モードが符号化されること。
• 標準的手法（例：cohomCalg）が非プルバック線束に対して失敗するという既存手法の制限を克服すること—F-theory GUTにおけるハイパーチャージフラックスで一般的に見られる。
• トーリック多様体上のすべての連続層の層コホモロジーを計算する一般化されたアルゴリズムの開発および実装。
• F-theory真空における物質表面フラックスの幾何学的・代数的構造、特にチャウ環内での関係の解明。
• F-theoryにおける異常キャンセレーション条件が、通常はコホモロジー環で記述されるが、それがチャウ環内の関係に拡張可能かどうかの調査。

提案手法

• ホモロジー代数の技法を用いて、トーリック多様体上の連続層の層コホモロジーを計算するためのアルゴリズムを開発。
• homalg_projectフレームワークを拡張し、gapパッケージ SheafCohomologiesOnToricVarieties にこれらのアルゴリズムを実装。
• デリーニュコホモロジーとチャウ群を用いてゲージ背景を分類し、物質曲線に線束を関連付ける。
• SU(5)×U(1)ゲージ対称性を持つ具体的なF-theory GUTモデル（非一般な物質曲線を含む）にアルゴリズムを適用。
• 環境空間上の交差理論と横断的交差を用いて、0モードの数え上げを計算。
• チャウ環におけるフラックスを分析し、異常キャンセレーション条件に類似した代数的関係を同定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的手法が失敗するF-theory GUTモデルにおける非プルバック線束の層コホモロジーは、どのように計算可能か？
• RQ2 チャウ群はゲージ背景を分類する役割を果たし、物質曲線上の線束を誘導する役割を果たすか？
• RQ3 F-theory真空における物質表面フラックスは、チャウ環内に異常キャンセレーションに対応する代数的関係を満たすか？
• RQ4 F-theoryにおける標準的な異常キャンセレーション条件（通常はコホモロジー環で記述される）を、チャウ環内の関係に再定式化可能か？
• RQ5 フラックスがベースからのプルバックでない場合、F-theoryにおける0モード数え上げの計算的構造はいかなるものか？

主な発見

• 著者らは、非プルバックバンドルに対してcohomCalgに起因する制限を克服し、トーリック多様体上のすべての連続層の層コホモロジーを計算するアルゴリズムを成功裏に実装した。
• 物質曲線上にチャウ群の要素によって誘導される線束は、chirality および反 chirality 0モードを符号化しており、物理的意義が確認された。
• 広範なF-theory真空のクラスにおいて、物質表面フラックスは異常キャンセレーション条件と直接関連するチャウ環内の代数的関係を満たすことが判明した。
• プルバックでないハイパーチャージフラックスを有するF-theory GUTモデルにおいても、新規アルゴリズムを用いて成功裏に解析され、0モードの数え上げが可能になった。
• F-theoryにおける異常キャンセレーションが、通常はコホモロジー的交差条件として記述されるが、それがチャウ環内の代数的関係に拡張可能であるという強い証拠が得られた。
• gapパッケージ SheafCohomologiesOnToricVarieties は、今後のF-theoryモデル構築、特に非プルバックフラックスの分野における計算ツールとして公開された。