[論文レビュー] Cohomologies of Sasakian groups and Sasakian solvmanifolds

Hisashi Kasuya|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Sasakian多様体の基本群のコホロロジー次元における$^*$-対称性を、横断的にKählerなfoliation上のねじれ基本Hodge理論を用いて確立する。主な結果は、任意の特徴 $\rho \in \rho^*$ に対して、群コホロロジー $H^*(\pi_1(M), \rho_\rho)$ の次元が不変であることを示し、その結果、コンパクトSasakian多様体の多可解基本群は本質的に可解であり、Sasakian可解多様体はHeisenberg可解多様体の有限被覆であることが導かれる。

ABSTRACT

We show certain symmetry of the dimensions of cohomologies of the funda- mental groups of compact Sasakian manifolds by using the Hodge theory of twisted basic cohomology. As applications, we show that the polycyclic fundamental groups of compact Sasakian manifolds are virtually nilpotent and Sasakian solvmanifolds are finite quotients of Heisenberg nilmanifolds.

研究の動機と目的

• コンパクトSasakian多様体の基本群のコホロロジー構造をHodge理論を用いて調査すること。
• 特徴への$\rho^*$作用の下で、群コホロロジー次元に現れる対称性を確立すること。
• コンパクトSasakian多様体の多可解および可解的基礎群を分類すること。
• Sasakian可解多様体がHeisenberg可解多様体の有限被覆であることを示すこと。
• 準正則性の仮定を必要としない微分幾何的証明を用いて、可解性を導出すること。これにより、従来の代数的幾何的アプローチとは対照的である。

提案手法

• Sasakian多様体のReeb foliationによって誘導される横断的にKählerなfoliation上のねじれ基本コホロロジーを用いる。
• 閉1形式 $\theta = f_1 + \rho^* f_2$（$f_1, f_2 \to H^1(M, \mathbb{R})$）に関する複素化された基本コホロロジー複体にHodge理論を適用する。
• $\rho^*$作用を特徴に $t \to t f_1 + \rho^* f_2$ として導入し、この作用の下でコホロロジー次元が不変であることを証明する。
• Kähler型の恒等式とラプラシアン分解を用いて、異なるパrameterに対してコホロロジー群の同型を確立する。
• Hodge分解 $A_B^r(M) \to \mathbb{R} \to \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を用いて調和代表元を特定し、それらをコホロロジーと関連付ける。
• Lie群理論の結果を応用：可解Lie群 $G$ とその可解核 $N$ に対して、すべての特徴 $\rho_i$ がユニタリであれば、$\rho{\rm Ad}_g$ の固有値もユニタリとなり、基礎群の本質的可解性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴 $\rho \to \rho^*$ における $\rho^*$作用の下で、群コホロロジー $H^*(\pi_1(M), \mathbb{R}_\rho)$ の次元は不変であるか？
• RQ2 コンパクトSasakian多様体の基礎群が多可解的であるが、本質的に可解的でない可能性はあるか？
• RQ3 すべてのSasakian可解多様体はHeisenberg可解多様体の有限被覆であるか？
• RQ4 Sasakian構造の準正則性を仮定しないで、基礎群の可解性を導出できるか？
• RQ5 ユニタリ特徴はSasakian群のコホロロジー構造において果たす役割は何か？

主な発見

• この論文は、任意のコンパクトSasakian多様体 $M$ に対して、$H^*(\pi_1(M), \mathbb{R}_\rho)$ の次元が特徴への $\rho^*$作用の下で不変であることを証明している。すなわち、すべての $t \in \mathbb{R}^*$ に対して $\dim H^*(\pi_1(M), \mathbb{R}_\rho) = \dim H^*(\pi_1(M), \mathbb{R}_{t\cdot\rho})$ が成り立つ。
• 非ユニタリ特徴 $\rho$ が $\dim H^1(\pi_1(M), \mathbb{R}_\rho) \geq k$ を満たすならば、集合 ${\mathcal{J}}_k(\pi_1(M))$ は無限大であり、これは強いコホロロジー的剛性を示唆する。
• コンパクトSasakian多様体の多可解的基礎群は本質的に可解的であり、Kähler幾何学からの結果をSasakian設定へと拡張する。
• Sasakian可解多様体はHeisenberg可解多様体の有限被覆である。これは、既知の可解多様体に関する結果を一般化する。
• 準正則性の仮定を必要とせず、横断的にKählerなfoliation上の微分幾何的技法に依拠して証明がなされている。
• 完全可解的可解多様体に対しては、次元 $2n+1$ のコンパクトな可解多様体 $G/\Gamma$ がSasakian構造をもつための必要十分条件は、それがHeisenberg可解多様体であることである。