[論文レビュー] Cohomology and deformations of dendriform algebras, and $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras

Apurba Das|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、表現における係数付きの双代数的代数のコホモロジー理論を確立し、変形がこのコホモロジーによって支配されることを示し、ホモトピー的双代数的代数のバージョンとして$π_{∞}$-代数を導入する。$A_{∞}$-代数上のロタ・バーレル作用素が$π_{∞}$-代数構造を誘導することを示し、交差モジュールを用いてスケルタルおよび厳密な$π_{∞}$-代数を分類することで、非可換代数におけるホモトピー的および表現論的構造を統一する。

ABSTRACT

A dendriform algebra is an associative algebra whose product splits into two binary operations and the associativity splits into three new identities. These algebras arise naturally from some combinatorial objects and through Rota-Baxter operators. In this paper, we start by defining cohomology of dendriform algebras with coefficient in a representation. The deformation of a dendriform algebra $A$ is governed by the cohomology of $A$ with coefficient in itself. Next we study $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras (dendriform algebras up to homotopy) in which the dendriform identities hold up to certain homotopy. They are certain splitting of $A_\infty$-algebras. We define Rota-Baxter operator on $A_\infty$-algebras which naturally gives rise to $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras. Finally, we classify skeletal and strict $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras.

研究の動機と目的

• 文献における空白を埋めるために、表現における係数付きの双代数的代数のコホモロジー理論を開発すること。
• 双代数的代数の変形が、このコホモロジーによって支配されることを示し、ゲルステンハーバーの変形理論を双代数的代数の文脈に拡張すること。
• $π_{\infty}$-代数を双代数的代数のホモトピー的類似物として定義し、研究することにより、$A_{\infty}$-代数を一般化すること。
• $A_{\infty}$-代数にロタ・バーレル作用素を定義し、それが自然に$π_{\infty}$-代数構造を誘導することを示すこと。
• 双代数的代数の交差モジュールを用いて、スケルタルおよび厳密な$π_{\infty}$-代数を分類すること。

提案手法

• 集合$C_n = \{1, \dots, n\}$上の組合せ的写像を用いてコチェーン複体を導入し、表現における係数付きのコホモロジーを定義する。
• 双代数的代数自身のコチェーン複体が、非対称的オペラッド構造と乗法を備え、コホモロジーにゲルステンハーバー代数構造を誘導することを示す。
• 双代数的代数のコホモロジーとその基になる結合的代数のホッホシュילדコホモロジーとの間の比較定理を用いて関係を確立する。
• 結合的代数の普遍変形公式を分割することで、双代数的代数の普遍変形公式を構成する。
• 双代数的恒等式がホモトピーの意味で成り立つように、$π_{\infty}$-代数を次数シフトされた$π_{\infty}[1]$-代数を用いて定義する。
• 自由な双代数的コモノイド上の$sA$上の、平方零かつ次数$-1$のコ微分作用素として$π_{\infty}$-代数構造を表現し、カッツ・デュアルティー型の対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現における係数付きの双代数的代数のコホモロジー理論はどのように定義され、それが変形をどのように支配するのか？
• RQ2 双代数的代数のコホモロジーとその基になる結合的代数のホッホシュルドコホモロジーとの関係は何か？
• RQ3 $A_{\infty}$-代数にロタ・バーレル作用素をどのように導入し、それによって$π_{\infty}$-代数を生成できるか？
• RQ4 スケルタルおよび厳密な$π_{\infty}$-代数を分類する代数的構造は何か？
• RQ5 $π_{\infty}$-代数構造は、自由な双代数的コモノイド上のコ微分作用素とどのように関係するか？

主な発見

• 双代数的代数自身の係数付きコホモロジーは、コチェーン複体上のオペラッドと乗法から生じるゲルステンハーバー代数構造を備える。
• 2番目のコホモロジー群は、双代数的代数のアーベル拡張の同値類を分類する。
• 2番目のコホモロジー群の消滅は、双代数的代数構造の剛性を意味する。
• 有限次の変形は、3番目のコホモロジー群が消える場合、次の次数に拡張可能である。
• $A_{\infty}$-代数上のロタ・バーレル作用素は、自然に$π_{\infty}$-代数構造を誘導する。これはアグイアールの結果をホモトピー的文脈に一般化する。
• スケルタルおよび厳密な$π_{\infty}$-代数は、双代数的代数の交差モジュールによって分類され、具体的な構成が提供されている。