[論文レビュー] Cohomology and Obstructions II: Curves on Calabi-Yau threefolds

Herbert Clemens|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、完全交差カルラヤ三fold 上の非遮断的曲線の障害理論が、スキーム的構造をもつアーベル・ジャコビ写像によって完全に支配されることを確立している。この写像を分析することで、曲線の変形理論の完全な特徴付けが得られ、これにより、数え上げ幾何学およびカルラヤ三fold 上の曲線のモジュライ理論への応用が可能になる。

ABSTRACT

Abstract. This paper studies the Hilbert scheme of a curve on a completeintersection K-trivial threefold, in the case in which the curve is unobstructed in the ambient variety in which the threefold lives. The basic result is that the obstruction theory of the curve is completely determined by the schemetheoretic Abel-Jacobi mapping. Several applications of this fact are given. 1.

研究の動機と目的

• 完全交差 K-自明三fold 上の曲線の変形理論を理解すること。
• アーベル・ジャコビ写像が非遮断的曲線の障害理論をどのように決定するかを調査すること。
• スキーム的構造をもつアーベル・ジャコビ写像を用いて、このような曲線の障害理論を完全に記述すること。
• 導来障害理論を、カルラヤ三fold 上の曲線のモジュライ空間や数え上げ幾何学の問題に応用すること。

提案手法

• 完全交差カルラヤ三fold 内の曲線のヒルベルト・スキームを分析する。
• 周囲の三fold において遮断のない曲線に注目し、変形空間が滑らかであることを保証する。
• 曲線の障害データを符号化するスキーム的アーベル・ジャコビ写像を構成する。
• 写像の構造を用いて、曲線の完全な障害理論を導出し、それがこの写像によって完全に決定されることを示す。
• 導来代数幾何学的手法を用いて、障害空間を正規束のコhomology と関連付ける。
• 三fold が K-自明であることを利用して、canonical バンドルを単純化し、コhomological 計算を容易にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルラヤ三fold 上の曲線の障害理論は、アーベル・ジャコビ写像とどのように関係しているか？
• RQ2 曲線の障害理論が、スキーム的構造をもつアーベル・ジャコビ写像によって完全に決定されるための条件は何か？
• RQ3 アーベル・ジャコビ写像は、カルラヤ三fold 上の曲線の変形不変量を計算するために、どのような方法で利用できるか？
• RQ4 曲線が周囲の三fold において非遮断的であるという事実は、その変形空間の構造にどのように影響するか？
• RQ5 この障害理論的制御の結果が、カルラヤ三fold 上の数え上げ幾何学に与える意味は何か？

主な発見

• 完全交差カルラヤ三fold 上の非遮断的曲線の障害理論は、スキーム的構造をもつアーベル・ジャコビ写像によって完全に決定される。
• アーベル・ジャコビ写像は、曲線のすべての変形論的情報（障害や無限小自己同型）を符号化している。
• 曲線の正規束のコhomological 構造は、アーベル・ジャコビ写像の幾何学に完全に反映されている。
• この結果により、カルラヤ三fold 上の曲線のモジュライ問題における仮想基本クラスを計算するための標準的枠組みが得られる。
• この方法により、アーベル・ジャコビ写像の幾何学を用いた、系統的かつ一貫した数え上げ不変量の計算が可能になる。
• 本研究の結果は、古典的なヤコビアンに関する結果を一般化し、スキーム的レベルにまで拡張することで、数え上げ幾何学における新たな応用を可能にする。