[論文レビュー] Cohomology of compact hyperkaehler manifolds

Misha Verbitsky|ArXiv.org|Jan 3, 1995

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、コンpactな単純なハイパーケーラー多様体のコホロロジー環が、Lie代数 $\gothesis{so}(n-2,4)$ の作用を持つことを確立し、$H^2(M)$ によって生成される部分環 $A^r$ がこの代数の既約表現であることを示している。これにより、$A^r$ のホッジ成分の明示的計算が可能となり、分割関数を用いた組合せ論的公式によって正確な次元が得られる。

ABSTRACT

Let M be a compact simply connected hyperkähler (or holomorphically symplectic) manifold, \dim H^2(M)=n. Assume that M is not a product of hyperkaehler manifolds. We prove that the Lie algebra so(n-3,3) acts by automorphisms on the cohomology ring H^*(M). Under this action, the space H^2(M) is isomorphic to the fundamental representation of so(n-3,3). Let A^r be the subring of H^*(M) generated by H^2(M). We construct an action of the Lie algebra so(n-2,4) on the space A, which preserves A^r. The space A^r is an irreducible representation of so(n-2,4). This makes it possible to compute the ring A^r explicitely.

研究の動機と目的

• コンパクトなハイパーケーラー多様体 $M$ のコホロロジー環 $H^*(M)$ の構造を理解すること。
• コホロロジーに作用するLie代数を同定し、$H^2(M)$ によって生成される部分環 $A^r$ を保存すること。
• $A^r$ 内のホッジ成分 $\bar{H}^{p,q}(M)$ の次元を明示的に計算すること。
• $A^r$ が $\gothesis{so}(n-2,4)$ の既約表現であることを確立し、構造的分類を可能にすること。
• 正規化されたホッジ＝ライマンペアリングが変形類の位相的不変量であることを示すこと。

提案手法

• トーリー定理と変形理論を用いて、ハイパーケーラー多様体の周期写像およびモジュライ空間の構造を同定する。
• $H^2(M,\mathbb{R})$ 上に体積正規化を用いて、正規化されたホッジ＝ライマンペアリング $(\cdot,\cdot)_{\mathcal{H}}$ を定義する。
• 同じ変形類に属する異なる複素構造におけるホッジ＝ライマン形式が比例することを証明し、正規化下で等しくなることを示す。
• $H^2(M)$ によって生成される部分環 $A^r \subset H^*(M)$ に $\gothesis{so}(n-2,4)$ のLie代数作用を構成する。
• $V = H^2(M)$ の対称冪 $S^m V$ を $SO(V)$-表現に分解することにより、ホッジ成分を計算する。
• 分割数のオイラーの母関数を適用し、$\bar{H}^{p,q}(M)$ の次元公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなハイパーケーラー多様体のコホロロジー環 $H^*(M)$ は、複素構造の変形によってどのように変化するか？
• RQ2 どのLie代数的構造がコホロロジー環に作用し、$H^2(M)$ によって生成される部分環 $A^r$ をどのように保存するか？
• RQ3 $A^r$ 内のホッジ成分 $\bar{H}^{p,q}(M)$ は明示的に計算可能か？
• RQ4 $A^r$ は既知のLie代数の既約表現か？
• RQ5 正規化されたホッジ＝ライマンペアリングは変形類の位相的不変量か？

主な発見

• 正規化されたホッジ＝ライマンペアリング $(\cdot,\cdot)_{\mathcal{H}}$ は、コンパクトなハイパーケーラー多様体の変形類の位相的不変量である。
• $\gothesis{so}(n-2,4)$ のLie代数は、$H^2(M)$ によって生成される部分環 $A^r \subset H^*(M)$ に作用し、各次数付き部分 $A^{r}$ を保存する。
• $A^r$ は $\gothesis{so}(n-2,4)$ の既約表現であり、$H^2(M)$ が基本表現である。
• $\bar{H}^{2i}(M)$ の次元は、$i \leq d$ のとき $p(n,i)$、$i \geq d$ のとき $p(n,2d-i)$ で与えられる。ここで $d = \dim_{\mathbb{C}} M / 2$ である。
• $p+q \leq 2d$ かつ $p \leq q$ のとき、$\bar{H}^{p,q}(M)$ の次元は $p_2(n-2,p)$ である。ここで $p_2(n-2,p)$ は、$n-2$ 個の変数（各1次）と1つの変数（2次）における次数 $p$ の同次多項式の数である。
• ホッジ成分は対称性 $\dim\bar{H}^{p,q}(M) = \dim\bar{H}^{2d-p,2d-q}(M)$ を満たし、コホロロジー環の双対性を反映している。