[論文レビュー] Cohomology of diagrams of algebras

Michael Robinson|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ベックのコモノイドアプローチを用いて、代数の図式の統一的コhomology理論を構築し、図式のコhomologyとその基礎となる代数のコhomologyを関連付けるスペクトル系列を確立する。主な貢献は、インデックスカテゴリのバウエス＝ヴァイアリングコhomologyと図式のコモノイドコhomologyを結ぶ局所から大域へのスペクトル系列であり、これは $ψ$-ring、$Π$-代数、および群の図式に適用可能である。

ABSTRACT

We consider cohomology of diagrams of algebras by Beck's approach, using comonads. We then apply this theory to computing the cohomology of $Ψ$-rings. Our main result is that there is a spectral sequence connecting the cohomology of the diagram of an algebra to the cohomology of the underlying algebra.

研究の動機と目的

• 群、リー代数、結合代数、$ψ$-ring などの図式の既存のコhomology理論を、コモノイドに基づく一様な枠組みで統一すること。
• 図式のコhomologyの計算ツールを構築するため、図式のコhomologyとその構成代数のコhomologyを関連付ける局所から大域へのスペクトル系列を構成すること。
• $ψ$-ring に理論を適用し、それらのコhomologyがコモノイド枠組みに適合し、スペクトル系列分解を許容することを示すこと。
• 提案されたコhomology理論が、Cegarra の群の図式や Blanc-Johnson-Turner の $Π$-代数の既存の構成を一般化・統一することを示すこと。
• 適切なモノイドを選べば、図式の代数のコhomologyがコモノイドにより得られる理論と既知の理論と同型になることを示し、枠組みの妥当性を裏付けること。

提案手法

• ベックのコモノイドアプローチを用いる：$Σετσ$ 上のモノイド $T$ を与え、$T$-代数の圏 $\mathfrak{Alg}(T)$ を定義し、随伴 $F \dashv U$ からコモノイド $\mathbb{G} = FU$ を構成する。
• 係数が $A$-加群 $M$ である図式 $A: I \to \mathfrak{Alg}(T)$ のコhomology $H^*_{I}(A,M)$ を、コモノイド分解と導来函手を用いて定義する。
• インデックスカテゴリ $I$ 上の自然系 $\mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)$ を構成し、各射 $\alpha: i \to j$ に対して $H^q_{\mathbb{G}}(A(i), \alpha^*M(j))$ を値とする。
• 自然系にバウエス＝ヴァイアリングコhomology $H^*_{BW}(I, \mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M))$ を適用してスペクトル系列を構築する。
• スペクトル系列を確立する：$E^{pq}_2 = H^p_{BW}(I, \mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)) \Rightarrow H^{p+q}_I(A,M)$ であり、これが中心的な計算ツールである。
• 適切なモノイドと圏を選べば、スペクトル系列が特殊ケース（Cegarra の群の図式、Blanc-Johnson-Turner の $Π$-代数）で既知の結果を回復することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群、リー代数、結合代数、$ψ$-ring などのさまざまな代数的構造の図式のコhomologyを、コモノイドを用いて一つの理論で統一できるか？
• RQ2 図式のコhomologyとその個々の成分のコhomologyを、局所から大域への原理で関連付けるスペクトル系列が存在するか？
• RQ3 $ψ$-ring（$Π$-作用を伴う可換環の図式）のコhomologyは、コモノイド枠組みにどのように適合し、スペクトル系列分解を許容するか？
• RQ4 提案されたコモノイドに基づく図式のコhomology理論は、群の図式や $Π$-代数の図式に対する既存のコhomology理論をどの程度一般化・統一するか？
• RQ5 インデックスカテゴリ $I$ 上の自然系 $\mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)$ は、バウエス＝ヴァイアリングコhomologyを用いて、大域的図式コhomologyを再構成するのに十分か？

主な発見

• 局所的個々の代数のコhomologyと図式の大域的コhomologyの間の計算的ブリッジを提供するスペクトル系列 $E^{pq}_2 = H^p_{BW}(I, \mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)) \Rightarrow H^{p+q}_I(A,M)$ が構成された。
• $ψ$-ring に対しては、スペクトル系列が $E^{p,q}_2 = H^p_{BW}(\mathbb{N}^{\text{mult}}, H^{q}_{AQ}(A,M)) \Rightarrow H^{p+q}_{\Psi}(A,M)$ の形を取り、$ψ$-ring のコhomologyをクイレン＝アーサー コhomologyに結びつける。
• 適切なモノイドを選べば、図式の代数のコhomologyがコモノイドによる理論と既存の理論と同型になる。これは群、$Π$-代数、結合代数の例に当てはまる。
• インデックスカテゴリ $I$ が2つの対象と1つの非自明な射を持つとき、群の図式のスペクトル系列は Cegarra の結果を特別な場合として回復する。
• $ψ$-ring に理論を適用するには、乗法モノイド $\mathbb{N}^{\text{mult}}$ でインデックス付けられた可換環の図式としてモデル化し、$ψ^n$-写像を構造射とする。
• インデックスカテゴリ $I$ 上の自然系 $\mathcal{H}^q_{\mathbb{G}}(A,M)$ は適切に定義されており、各射 $\alpha: i \to j$ に対して $H^q_{\mathbb{G}}(A(i), \alpha^*M(j))$ を値とし、スペクトル系列の構成を可能にする。