[論文レビュー] Cohomology of Feynman graphs and perturbative quantum field theory

Lucian M. Ionescu|ArXiv.org|Jun 8, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、KreimerのコプロダクトとKontsevichのグラフホモロジーを用いて、向き付けられたラベル付きフェルミオン図形にdg-Hopf代数構造を確立し、摂動量子場理論におけるL-infinity準同型のコhomological解釈を可能にする。このdg-コアルゲブラ上のコバール構成によりグラフホモロジーが得られ、全微分がL-infinity準同型条件を符号化する。フェルミオン積分は、グラフ展開における係数として現れる。

ABSTRACT

An analog of Kreimer's coproduct from renormalization of Feynman integrals in quantum field theory, endows an analog of Kontsevich's graph complex with a dg-coalgebra structure. The graph complex is generated by orientation classes of labeled directed graphs. A graded commutative product is also defined, compatible with the coproduct. Moreover, a dg-Hopf algebra is identified. Graph cohomology is defined applying the cobar construction to the dg-coalgebra structure. As an application, L-infinity morphisms represented as series over Feynman graphs correspond to graph cocycles. Notably the total differential of the cobar construction corresponds to the L-infinity morphism condition. The main example considered is Kontsevich's formality morphism. The relation with perturbative quantum field theory is considered by interpreting L-infinity morphisms as partition functions, and the coefficients of the graph expansions as Feynman integrals.

研究の動機と目的

• Kreimerの摂動理論におけるコプロダクトとKontsevichのグラフホモロジーを、一つの代数的枠組みに統合すること。
• ラベル付き有向グラフの向き付き同値類にdg-Hopf代数構造を定義し、コhomological解析を可能にすること。
• コバール構成を用いて、摂動QFTにおけるL-infinity準同型をグラフコサイクルとして解釈すること。
• フェルミオン積分とグラフ展開における係数との間の対応関係を、ホモトピー代数に基づいて確立すること。
• L-infinity代数とグラフホモロジーを用いて、フェルミオン経路積分の形式的で代数的なモデルを提供すること。

提案手法

• ラベル付き有向グラフの向き付き同値類に、直和とラベルの連結を用いた次数付き可換積を定義する。
• 境界と交わる正規部分グラフを用いたコプロダクトを導入し、摂動理論におけるKreimerのコプロダクトを一般化する。
• グラフ複体からdg-コアルゲブラを構成し、その微分をグラフホモロジーの微分から得る。
• dg-コアルゲブラにコバール構成を適用してグラフホモロジーを定義し、全微分がL-infinity準同型条件を符号化することを示す。
• グラフと状態をペアリングして「フェルミオン則」を定義し、配置空間積分を介してそれらをフェルミオン積分として解釈する。
• Kontsevichの形式的同型準同型を代表例として用い、その係数がグラフコサイクルから生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kreimerの摂動理論におけるコプロダクトとKontsevichのグラフホモロジーを統合し、一貫した代数的構造を形成できるか？
• RQ2 コバール構成は、L-infinity準同型とグラフホモロジーを結ぶ上で果たす役割は何か？
• RQ3 この枠組みにおいて、摂動QFTにおけるフェルミオン積分はどのようにグラフ展開から生じるか？
• RQ4 L-infinity準同型がdg-コアルゲブラのホモロジーにおけるグラフコサイクルに対応する、いわゆる「意味」は何か？
• RQ5 この経路積分の代数的モデルは、QFTにおける従来の解析的アプローチとどのように関係するか？

主な発見

• 向き付けられたラベル付き有向グラフのグラフ複体は、次数付き可換積と、Kreimerのコプロダクトを一般化したコプロダクトを持つdg-Hopf代数構造を有する。
• dg-コアルゲブラにコバール構成を適用することでグラフホモロジーが得られ、全微分はまさにL-infinity準同型条件に対応する。
• フェルミオン図形に展開されたL-infinity準同型は、正確にグラフコサイクルに対応し、Kontsevichの形式的同型準同型が中心的な例となる。
• フェルミオン積分は、L-infinity準同型のグラフ展開における係数として実現され、配置空間上の状態とのペアリングから生じる。
• L-infinity準同型のモジュライ空間は、フェルミオンdg-コアルゲブラのホモロジーと同型である：$\mathcal{H}o(g_1,g_2) = H^\bullet(\mathcal{G};k)$。
• この枠組みは、L-infinity準同型がグリーン関数の生成関数として機能するフェルミオン図形の和として、経路積分の形式的で代数的な実現を提供する。