[論文レビュー] Cohomology of GL(2,R)-valued cocycles over hyperbolic systems

Victoria Sadovskaya|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、正則なAnosov微分同相写像上のHölder連続な$GL(2,\mathbb{R})$-値コサイクルを、二つのクラスに分類する：1つのリャプノフ指数を持つもの（楕円型または放物型）と、横断的なHölder連続部分束を保存するもの（優位性分解を有する）。可測なコホモロジーがHölder連続性を意味することを確立し、より強い仮定の下で周期的データの共役がコホモロジーを意味することを示す。一方、これらのクラスの外では反例を提示する。

ABSTRACT

We consider Holder continuous GL(2,R)-valued cocycles over a transitive Anosov diffeomorphism. We give a complete classification up to Holder cohomology of cocycles with one Lyapunov exponent and of cocycles that preserve two transverse Holder continuous sub-bundles. We prove that a measurable cohomology between two such cocycles is Holder continuous. We also show that conjugacy of periodic data for two such cocycles does not always imply cohomology, but a slightly stronger assumption does. We describe examples that indicate that our main results do not extend to general GL(2,R)-valued cocycles.

研究の動機と目的

• transitive Anosov微分同相写像上の$GL(2,\mathbb{R})$-値コサイクルをHölderコホモロジーの意味で分類すること。
• このようなコサイクル間の可測な共役の正則性を解明すること、特に可測コホモロジーがHölder連続性を意味するかどうかを特定すること。
• 周期的データの共役が連続的コホモロジーを意味するかどうかを特定し、その成立に必要な条件を同定すること。
• 二つの主要クラスの外での理論の限界を明らかにするために反例を構成すること。
• リャプノフ指数と優位性分解が線形コサイクルのコホモロジー分類において果たす役割を明確化すること。

提案手法

• コンパクト多様体$\mathcal{M}$上のHölder連続関数$A: \mathcal{M} \to GL(2,\mathbb{R})$である生成子を用いてコサイクルを分析する。
• Anosovの指定性質とBirkhoffのエルゴディック定理を用いて、軌道に沿った行列積の成長を分析する。
• Livšic理論の枠組みを用いてコホモロジーを研究し、可測およびHölder連続な共役に焦点を当てる。
• 周期的点における$\mathcal{A}(p,n)$の固有値の絶対値を分析することで、1つのリャプノフ指数を持つコサイクルを分類する。
• 横断的なHölder連続部分束を保存するコサイクルを、Hölder共役を用いて対角形に還元することで研究する。
• 非コンパクト性と無限大に発散する共役を用いた具体例を構成することで、仮定の必要性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの$GL(2,\mathbb{R})$-コサイクル間の可測コホモロジーが、常にHölder連続であるための条件は何か？
• RQ2 二つのコサイクルの周期的データが共役であるとき、それが連続的コホモロジーを意味するか。そうでない場合、何らかのより強い条件がそれを保証するか？
• RQ3 1つのリャプノフ指数または優位性分解を持つものに限らない$GL(2,\mathbb{R})$-コサイクルの分類を、より一般化できるか？
• RQ4 非コンパクトな場合でも、周期的データが共役である場合に、連続的コホモロジーに内在的な障害があるか？
• RQ5 二つの主要クラスの外の一般な$GL(2,\mathbb{R})$-コサイクルに対して、結果がどの程度失敗するか？

主な発見

• 放物型または優位性分解を有するコサイクル同士の可測コホモロジーは、共役がHölder連続であることを意味する。
• 1つのリャプノフ指数を持つコサイクルは、Hölderコホモロジーの意味で、完全に楕円型または放物型に分類される。
• 二つの横断的なHölder連続部分束を保存するコサイクルは、対角コサイクルとHölderコホモロジーに同値である。
• 周期的データの共役は一般には連続的コホモロジーを意味しないが、周期的点における共役の有界性というより強い仮定があれば成立する。
• 周期的点における共役が一様に有界である放物型コサイクルの例を構成し、それらが可測にさえコホモロジックでないことを示した。
• 反例により、主な結果が一般の$GL(2,\mathbb{R})$-コサイクル、特に非一様な双曲性と無限大に発散する共役を有するものに拡張できないことが示された。