[論文レビュー] Cohomology of Heisenberg-Virasoro conformal algebra

Lamei Yuan, Henan Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、自明なモジュールおよび特定の conformal モジュールを係数とするヘイゼンバーグ＝ヴァイラスロ conformal 代数のコホモロジーを計算する。簡略化された複体と明示的なコバウンダリー作用素を用いて、低次元コホモロジー群を同定し、$ H^3(\mathrm{HV}, \mathbb{C}) $ が5次元であり、$ H^4(\mathrm{HV}, \mathbb{C}) $ が2次元であることを示している。一方、$ q \geq 0 $ および $ \beta \neq 0 $ のとき、$ H^q(\mathrm{HV}, M_{\triangle,\beta}) = 0 $ である。

ABSTRACT

In this paper, we compute the cohomology of the Heisenberg-Virasoro conformal algebra with coefficients in its modules, and in particular with trivial coefficients both for the basic and reduced complexes.

研究の動機と目的

• ヘイゼンバーグ＝ヴァイラスロ conformal 代数 $\mathcal{HV}$ の自明なモジュールおよび conformal モジュールを係数とするコホモロジーを計算すること。
• 低次元コホモロジー群 $ H^q(\mathcal{HV}, \bb{C}) $ および $ H^q(\mathcal{HV}, M_{\triangle,\alpha,\beta}) $ の構造を特定すること。
• パrameter $ \alpha \neq 0 $ のとき、非自明なモジュールにおけるコホモロジーの消滅結果を確立すること。
• 簡略化された複体とコバウンダリー作用素を用いて、コホモロジー計算を簡素化すること。
• Virasoro およびカレント代数のコホモロジーに関する既知の結果を、より複雑なヘイゼンバーグ＝ヴァイラスロの場合に拡張すること。

提案手法

• 文献[2]で開発された、Lie conformal 代数の一般コホモロジー理論を、conformal モジュールを係数とするものとして用いる。
• コホモロジー群の計算を簡素化するために、簡略化された複体の構成を適用する。
• $ \tau_1, \tau_2, \tau_3 $ の作用素を導入し、コバウンダリー写像を関連づけ、$ \partial $-exact 項目による同値類に modulo した共サイクルを削減する。
• ジャコビ恒等式および conformal sesquilinearity を用いて、共サイクルの再帰的関係を導出する。
• $ \partial \tilde{C}^q(\mathcal{HV}, V) = (\partial + \sum \lambda_i) \tilde{C}^q(\mathcal{HV}, V) $ であるという事実を用いて、コバウンダリーの同値性を分析する。
• 対称多項式の $ \lambda $-変数における評価を通じて、コホモロジー類の明示的代表元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイゼンバーグ＝ヴァイラスロ conformal 代数の低次元コホモロジー群 $ H^q(\mathcal{HV}, \bb{C}) $ の構造は何か？
• RQ2 $ \bb{C} $ および $ \bb{C}_a $ の係数をもつとき、$ \mathcal{HV} $ のコホモロジーはどのように振る舞うか？
• RQ3 ランク1の conformal モジュール $ M_{\triangle,\alpha,\beta} $ を係数とする $ \mathcal{HV} $ のコホモロジーは何か。特に $ \alpha \neq 0 $ のときには？
• RQ4 非半単純な conformal 代数 $ \mathcal{HV} $ に対して、簡略化された複体法はコホモロジーを効果的に計算できるか？
• RQ5 自明な係数をもつ $ \mathcal{HV} $ に対して、3次および4次に非自明なコホモロジー類が存在するか？

主な発見

• $ H^3(\mathcal{HV}, \bb{C}) $ は5次元であり、5つの明示的なコホモロジー類 $ \phi_1, \phi_2, \phi_3, \bar{\psi}_1, \bar{\psi}_2 $ によって張られる。
• $ H^4(\mathcal{HV}, \bb{C}) $ は2次元であり、$ \psi_1 $ と $ \psi_2 $ によって生成される。
• $ a \neq 0 $ のとき、モジュール $ \bb{C}_a $ を係数とするコホモロジー $ H^q(\mathcal{HV}, \bb{C}_a) $ はすべての $ q \geq 0 $ で消える。これは作用素 $ \tau_2 $ を用いて示された。
• $ \alpha \neq 0 $ のとき、モジュール $ M_{\triangle,\alpha,\beta} $ を係数とするコホモロジー $ H^q(\mathcal{HV}, M_{\triangle,\alpha,\beta}) $ はすべての $ q \geq 0 $ で恒等的に消える。これは $ \alpha \neq 0 $ の条件による。
• コホモロジー計算は、簡略化された複体および $ \tau $-作用素の使用に依存しており、コサイクルが $ \partial $-exact 項目による同値類に同値であることを示している。
• Virasoro およびカレント代数のコホモロジーに関する既知の計算結果が、単純でも半単純でもないヘイゼンバーグ＝ヴァイラスロ conformal 代数へと一般化されている。