[論文レビュー] Cohomology of Lie semidirect products and poset algebras

Vincent E. Coll, Murray Gerstenhaber|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、Hochschild-Serreスペクトル系列を用いて、Lie半直積とLie順序付き代数のコホモロジーを分解することを確立し、Lie順序付き代数 $ \frak{g} $ に対して $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ が $ \frak{h}^* $ 上の外積代数と、基礎となる順序集合のナーヴの単体的コホモロジーのテンソル積に同型であることを示している。主な結果は、複素幾何における変形理論に類似した、無限小変形の三成分分解である。

ABSTRACT

When $\mathfrak h$ is a toral subalgebra of a Lie algebra $\mathfrak g$ over a field $\mathbf k$, and $M$ a $\mathfrak g$-module on which $\mathfrak h$ also acts torally, the Hochschild-Serre filtration of the Chevalley-Eilenberg cochain complex admits a stronger form than for an arbitrary subalgebra. For a semidirect product $\mathfrak g = \mathfrak h \ltimes \mathfrak k$ with $\mathfrak h$ toral one has $H^*(\mathfrak g, M) \cong \bigwedge\mathfrak h^{\vee} \bigotimes H^*(\mathfrak k,M)^{\mathfrak h} = H^*(\mathfrak h, \mathbf k)\bigotimes H^*(\mathfrak k,M)^{\mathfrak h}$, and for a Lie poset algebra $\mathfrak g$, that $H^*(\mathfrak g, \mathfrak g)$, which controls the deformations of $\mathfrak g$, can be computed from the nerve of the underlying poset. The deformation theory of Lie poset algebras, analogous to that of complex analytic manifolds for which it is a small model, is illustrated by examples.

研究の動機と目的

• トロナルな $ \frak{h} $ を持つLie半直積 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ のためのコホモロジー的枠組みを構築し、Hochschild-Serreフィルトレーションを拡張する。
• 基礎となる順序集合のナーヴを用いて、Lie順序付き代数のコホモロジー $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ を計算する。
• Lie順序付き代数の変形理論を単体的コホモロジーおよび複素解析的変形理論と関連付ける。
• 無限小変形を三つの幾何的に意味のある成分に分類する：代数的、作用的、トポロジカル。

提案手法

• トロナルな $ \frak{h} $ を持つ $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ に対してHochschild-Serreスペクトル系列を適用し、$ H^*(\frak{g}, M) \cong \bigwedge \frak{h}^\vee \otimes H^*(\frak{k}, M)^\frak{h} $ を得る。
• Lie順序付き代数 $ \frak{g}(\cal{P}, \mathbf{k}) $ を、可換順序付き代数 $ A(\cal{P}, \mathbf{k}) $ のトレースゼロ部分代数として定義し、乗法を順序集合の順序に基づいて定義する。
• 順序集合 $ \cal{P} $ のナーヴ $ \Sigma $ を構成し、$ \Sigma^+ $ を得るために (-1)-単体を付加し、正の次数でコホモロジー的同値性を保証する。
• 同型 $ H^*(\frak{k}, \mathbf{k})_{\mathbf{0}} \cong H^*(\Sigma^+, \mathbf{k}) $ を確立し、Chevalley-Eilenbergコホモロジーと単体的コホモロジーを特定する。
• 同型 $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) \cong H^*(\frak{h}, \mathbf{k}) \otimes H^*(\Sigma^+, \mathbf{k}) $ を用いて、$ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ を三つの成分に分解する。
• 特に、Artin-Hasseの指数関数または特徴量 0 における $ F_{ijk}(t) = 1 + t f_{ijk} $ を用いて、$ \Sigma $ 上の2次コサイクルの指数化による1パラメータ変形を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロナルな $ \frak{h} $ を持つLie半直積 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ のコホモロジーは、Hochschild-Serreフィルトレーションの下でどのように分解されるか？
• RQ2 Lie順序付き代数のコホモロジー $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ は、その基礎となる順序集合のナーヴから計算可能か？
• RQ3 $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ の三成分分解の幾何的・代数的解釈は何か？
• RQ4 Lie順序付き代数の変形は、特に無限小構造の観点から、複素解析的多様体の変形とどのように関係するか？
• RQ5 順序集合のナーヴ上の2次コサイクルが、形式的またはグローバルなLie順序付き代数の変形を生成するために指数化可能となる条件は何か？

主な発見

• トロナルな $ \frak{h} $ を持つLie半直積 $ \frak{g} = \frak{h} \ltimes \frak{k} $ に対して、$ H^*(\frak{g}, M) \cong \bigwedge \frak{h}^\vee \otimes H^*(\frak{k}, M)^\frak{h} $ が成り立ち、$ \frak{h} $ がトロナルに作用するとき強い分解が得られる。
• Lie順序付き代数 $ \frak{g} $ に対して、コホモロジー $ H^*(\frak{g}, \frak{g}) $ は $ H^*(\frak{h}, \mathbf{k}) \otimes H^*(\Sigma^+, \mathbf{k}) $ に同型であり、ここで $ \Sigma^+ $ は (-1)-単体を付加した順序集合のナーヴである。
• 第二コホモロジー $ H^2(\frak{g}, \frak{g}) $ は三つの成分に分解される：$ \bigwedge^2 \frak{h}^\vee \otimes \mathfrak{c} $、$ \frak{h}^\vee \otimes H^1(\Sigma, \mathbf{k}) $、および $ H^2(\Sigma, \mathbf{k}) $。これらはそれぞれ $ \frak{h} $ の変形、$ \frak{h} $ の作用の変形、順序集合のトポロジーの変形に対応する。
• 体 $ \mathbf{k} $ が $ \mathbb{R} $ または $ \mathbb{C} $ のとき、非自明な2次コサイクル $ f \in H^2(\Sigma, \mathbf{k}) $ は $ e_{ij} \star e_{jk} = \exp(t f_{ijk}) e_{ik} $ を通じて1パラメータ族の変形を生成し、これは結合的かつ非自明である。
• $ \frak{g}(S^2) $ の場合、すべての非自明な無限小変形は型 (0,2) であり、$ H^2(S^2, \mathbf{k}) \cong \mathbf{k} $ に起因し、三重積が消えるため $ F_{ijk}(t) = 1 + t f_{ijk} $ を用いて実現可能である。
• $ \frak{g}(S^2) $ の変形が $ F_{ijk}(t) = 1 + t f_{ijk} $ を用いて行われる場合、同値性を除いて一意な1パラメータ族の変形が得られ、元の代数は変形族の特殊化として回復可能である。