[論文レビュー] Cohomology of Local Cochains

Martin Fuchssteiner|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ループ可縮性を持つ係数群および一般化された分割の単位の余ゼロ集合による被覆に関して、抽象的局所コホモロジーが連続的局所コホモロジーと一致することを確立する。さらに、局所可縮性を持つ位相群およびリー群において、左不変な対角近傍がアレクサンドル＝スパンナーおよび特異コホモロジーを計算するのに十分であり、ヴァン・イストの結果を連続的および滑らかコホモロジーにまで拡張する。これは、新規のホモトピー論的アプローチによって達成される。

ABSTRACT

We prove that for generalised partitions of unity ${ϕ_i \mid i \in I}$ and coverings $\mathfrak{U}:={ϕ_i^{-1} (R \setminus {0}) \mid i \in I}$ of a topological space $X$ the cohomology of abstract $\mathfrak{U}$-local cochains coincides with the cohomology of continuous $\mathfrak{U}$-local cochains, provided the coefficients are loop contractible. Furthermore we show that for each locally contractible group $G$ and loop contractible coefficient group $V$ the complex of germs of continuous functions on left-invariant diagonal neighbourhoods computes the Alexander-Spanier and singular cohomology; similar results are obtained for $k$-groups and for germs of smooth functions on Lie groups $G$.

研究の動機と目的

• 抽象的局所コホモロジーと連続的局所コホモロジーが一致する条件を確立すること。
• 局所可縮性を持つ位相群におけるヴァン・イストのアレクサンドル＝スパンナー・コホモロジーに関する結果を、連続的および滑らかなコホモロジーへと拡張すること。
• 係数がループ可縮性を満たすリー群において、左不変な対角近傍が特異およびアレクサンドル＝スパンナー・コホモロジーを計算できることを示すこと。
• 局所可縮性を持つ位相群およびリー群の文脈において、セーチェ、特異、およびアレクサンドル＝スパンナー・コホモロジー理論を統一すること。

提案手法

• 一般化された分割の単位を用いて、余ゼロ集合による被覆を定義し、局所コホモロジー複体の基礎を築く。
• 抽象的、連続的、およびセーチェコホモロジーを結びつけるために、セーチェ＝アレクサンドル＝スパンナー二重複体を導入する。
• 特にループ可縮性の概念を用いたホモトピー論的技術を適用し、コホモロジー複体の擬等長写像を示す。
• 数え上げ可能な被覆に関する余極限構成を用いて、パラコンパクト空間および滑らかにパラコンパクトな多様体における古典的コホモロジー理論を回復する。
• 左不変な対角近傍を用いて、位相群およびリー群におけるコホモロジーを分析する。
• 余極限構成における位相的整合性を保証するため、k空間およびkω空間の枠組みに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、抽象的局所コホモロジーのコホモロジーが連続的局所コホモロジーと一致するか？
• RQ2 局所可縮性を持つ位相群において、左不変な対角近傍がアレクサンドル＝スパンナー・コホモロジーを計算できるか？
• RQ3 滑らかな分割の単位と滑らかにループ可縮性を満たす係数を持つリー群において、滑らかな局所コホモロジーは特異およびアレクサンドル＝スパンナー・コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 ループ可縮性係数が、さまざまなコホモロジー理論の同値性を保証する程度はどの程度か？
• RQ5 一般化された分割の単位は、セーチェ、特異、およびアレクサンドル＝スパンナー・コホモロジーの統一に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の一般化された分割の単位の余ゼロ集合による被覆およびループ可縮性係数に対して、抽象的局所コホモロジーのコホモロジーは、連続的局所コホモロジーのコホモロジーと同型である。
• 局所可縮性を持つ位相群において、左不変な対角近傍上の連続的局所コホモロジーによって計算されるコホモロジーは、アレクサンドル＝スパンナーおよび特異コホモロジーと一致する。
• 滑らかな分割の単位と滑らかにループ可縮性を満たす係数を持つリー群において、滑らかな局所コホモロジーは、特異およびアレクサンドル＝スパンナー理論と同じコホモロジーを計算する。
• すべての数え上げ可能な被覆に関する余極限は、パラコンパクト空間において古典的アレクサンドル＝スパンナーおよび連続コホモロジーを回復する。
• セーチェ＝アレクサンドル＝スパンナー二重複体は、提示された条件下で、抽象的、連続的、およびセーチェコホモロジーの間の橋渡しを提供する。
• 本結果は、ヴァン・イストの定理を、位相群およびリー群における連続的および滑らかなコホモロジーへと拡張することで一般化する。