[論文レビュー] Cohomology of moduli spaces of curves of genus three via point counts

Jonas Bergström|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限体上の点数を用いて、3次曲線の安定曲線のモジュライ空間の $σ$-等変コホロロジーを計算する。非双曲的3次曲線の $σ$-等変点数（平面四次曲線を用いて）と、既知の0,1,2次および双曲的3次曲線の点数を組み合わせることで、$\overline{\mathcal{M}}_{3,n}$ および $\mathcal{M}_{3,n}$（$n \leq 5$）の $σ$-等変ガロア構造とホッジ構造を同定する。さらに、完全な多項式点数が得られていない場合でも、$\mathcal{M}_3$ 上の局所系統のオイラー特性を用いて $n=6,7$ へ拡張する。

ABSTRACT

In this article we consider the moduli space of smooth $n$-pointed non-hyperelliptic curves of genus 3. In the pursuit of cohomological information about this space, we make $\mathbb{S}_n$-equivariant counts of its numbers of points defined over finite fields for $n \leq 7$. Combining this with results on the moduli spaces of smooth pointed curves of genus 0, 1 and 2, and the moduli space of smooth hyperelliptic curves of genus 3, we can determine the $\mathbb{S}_n$-equivariant Galois and Hodge structure of the ($\ell$-adic respectively Betti) cohomology of the moduli space of stable curves of genus 3 for $n \leq 5$ (to obtain $n \leq 7$ we would need counts of ``8-pointed curves of genus 2'').

研究の動機と目的

• 3次安定曲線のモジュライ空間の $σ$-等変ガロア構造とホッジ構造を同定すること。
• 3次非双曲的曲線のモジュライ空間に対して、$n \leq 7$ のマークド点を持つ有限体上での $σ$-等変点数を計算すること。
• 0次、1次、2次および双曲的3次曲線の既知の点数と組み合わせることで、$\overline{\mathcal{M}}_{3,n}$ のコホモロジー不変量を同定すること。
• $n=6$ および $n=7$ に対して、完全な多項式点数が得られていない場合でも、$\mathcal{M}_3$ 上の局所系統のオイラー特性を用いて結果を拡張すること。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上で $n$ 個の点を通る非特異な平面四次曲線の個数を数えるために、スクリーブ法を用い、特異曲線を段階的に除去する。
• トレース公式とフロベニウス固有値の性質を適用し、楕円曲線上の点数とコホモロジー的データを関連付ける。
• $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の層化を用いて、低次元および双曲的部分空間からの点数を統合する。
• 多項式点数が $\mathbb{F}_q$ 上で得られれば、van den Bogaart–Edixhoven および Faber–van der Geer の定理により、$σ$-等変ガロア構造とホッジ構造が決定されることを応用する。
• 有限体上での四次曲線および三次曲線の線形系統の次元を、組合せ幾何学的手法で計算する。
• 補題15.3を再帰的に適用し、トレース公式と自己同型群のデータを用いて、$n \leq 10$ まで $\mathcal{M}_{1,n}$ の $σ$-等変点数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \leq 5$ の場合に、$\overline{\mathcal{M}}_{3,n}$ の $σ$-等変ガロア構造とホッジ構造は何か？
• RQ2 $n \leq 7$ の非双曲的3次曲線の $σ$-等変点数は、有限体の手法によって計算可能か？
• RQ3 $\mathcal{M}_{3,n}$ のコホモロジー不変量は、$\mathcal{M}_{1,n}$, $\mathcal{M}_{2,n}$, および $\mathcal{H}_{3,n}$ のそれらとどのように関係するか？
• RQ4 平面四次曲線のモジュライ空間は、$\mathcal{M}_{3,n}$ のコホロロジー計算において果たす役割は何か？
• RQ5 完全な多項式点数が得られていない場合でも、$n=6,7$ の $\mathcal{M}_{3,n}$ のコホロロジーは同定可能か？

主な発見

• $n \leq 5$ の場合に、$\overline{\mathcal{M}}_{3,n}$ および $\mathcal{M}_{3,n}$ の $σ$-等変ガロア構造とホッジ構造は、多項式点数を用いて完全に同定された。
• $n=6$ および $n=7$ の場合、$\mathcal{M}_3$ 上の特定の局所系統の $σ$-等変ガロアオイラー特性が計算され、多項式点数の範囲を超えたコホモロジー的情報が得られた。
• $n \leq 10$ の $\mathcal{M}_{1,n}$ の $σ$-等変点数は、補題15.3の再帰的適用により計算され、Getzlerのホッジオイラー特性の結果と整合的である。
• 特異点が1つ、2つ、またはそれ以上の曲線を段階的に除去するスクリーブ法を用いて、$n$-重の点を通る非特異平面四次曲線の個数が計算された。
• $n=8$ の場合、円錐曲線および直線対の配置から新たな現象が生じ、点数式に追加の補正項 $c$ および $d$ が必要となった。
• 点数が $\mathbb{F}_q$ 上で多項式であるならば、コホモロジーの $σ$-等変ガロア構造とホッジ構造が多項式によって決定されることに依拠している。