[論文レビュー] Cohomology of Restricted Lie Algebras

Tyler J. Evans|ArXiv.org|Nov 8, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、低次のコホモロジー（3次まで）に対して明示的なコチェーン複体を構成し、古典的リー代数コホモロジーとの関係を確立することで、制限付きリー代数のコホモロジー理論を構築する。アーベルの場合、コチェーン空間の次元が代数の対称冪と一致することを示し、0次および1次のコホモロジーにおいて制限付きコホモロジーが古典的コホモロジーと一致することを証明する。また、2次のコホモロジーにおいては、核が明確に特徴付けられた自然な写像が存在することを示す。

ABSTRACT

In this dissertation, we investigate the cohomology theory of restricted Lie algebras. The representation theory of restricted Lie algebras is reviewed including a description of the restricted universal enveloping algebra. In the case of an abelian restricted Lie algebra, we construct an augmented complex of free modules over the enveloping algebra that is exact in dimensions less than p and hence define the cohomology theory of these algebras in dimension less than p. In the non-abelian case, we explicitly construct cochain spaces for any coefficient module in dimensions less than 3, and give explicit formulas for the coboundary operators in these dimensions. The corresponding notions of the usual algebraic interpretations of ordinary low dimensional cohomology are defined and we show that our restricted cohomology spaces encode this information as well.

研究の動機と目的

• 制限付きリー代数の体系的なコホモロジー理論を構築し、正標数の設定に古典的リー代数コホモロジーを拡張すること。
• 任意の係数モジュールを用いて、0次から3次までの制限付きリー代数コホモロジーの明示的コチェーン複体を構成すること。
• 特に低次のコホモロジーにおいて、制限付きコホモロジーと古典的リー代数コホモロジーの関係を明確にすること。
• 制限付き設定における低次のコホモロジースペースの代数的解釈を調査すること。
• 将来の変形理論および制限付きL∞代数に関する研究の基盤を築くこと。

提案手法

• アーベルな制限付きリー代数に対して、自由な制限付き普遍包あらゆる代数モジュールの増大複体を構成し、p未満の次数で完全であることを示す。
• カルタン＝エイレンバーグの構成を用いて、制限付きリー代数コホモロジーの標準的コチェーン複体を定義する。
• 非アーベルの場合、任意の係数モジュールMに対して、k = 0, 1, 2, 3 のcoboundary作用素δ^kを明示的に計算する。
• アーベルの場合にC^k(g)の次元がS^k(g)の次元と等しいことを示し、対称代数と明確な関係を確立する。
• H^2(g; M)からH^2_cl(g; M)への自然な写像を構成し、特定のモジュールに対してその核を分析する。
• 古典的コホモロジーの代数的解釈を制限付き設定に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付きリー代数のコホモロジーは、低次の古典的リー代数コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ2 0次から3次までの制限付きリー代数コホモロジーのコチェーン複体の構造は何か？
• RQ3 アーベルの場合におけるコチェーン空間C^k(g; M)の次元は何か？また、対称代数とどのように関係するか？
• RQ4 自然な写像H^2(g; M) → H^2_cl(g; M)の核は何か？また、係数モジュールに依存してどのように変化するか？
• RQ5 非アーベルな制限付きコホモロジー理論は、アーベルの場合の変形として全体的に理解できるか？

主な発見

• アーベルの場合、コチェーン空間C^k(g)の次元はk次の対称冪S^k(g)の次元と等しい。
• 制限付きリー代数のH^0(g; M)およびH^1(g; M)は、それらの古典的コホモロジーと自然に同型である。
• H^1(g; M)からH^1_cl(g; M)への自然な単射写像が存在し、制限付きコホモロジーが1次において古典的コホモロジーに埋め込まれることを示している。
• H^2(g; M)からH^2_cl(g; M)への自然な写像が構成され、特定の係数モジュールに対してその核が分析された。
• アーベルおよび非アーベルの場合におけるコチェーン空間の次元が同一であるため、両者間に変形論的関係があると考えられる。
• 本稿で開発されたコホモロジー理論は、制限付きリー代数の変形およびおそらく制限付きL∞代数の研究の基盤を提供する。