[論文レビュー] Cohomology of Siegel Varieties with p-adic integral coefficients and Applications

Abdellah Mokrane, Jacques Tilouine|ArXiv.org|Dec 12, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、pをレベルと互いに素で、自然な境界を超過する素数とするとき、非アイゼンシュタイン的で通常の極大イデアルにおいて、p進整数係数をもつシーゲル多様体のベッチコホモロジーにおけるねじれが生じないことを確立する。ガロア表現および自動形式的ベクトル束の標準的拡張を用いて、これらの条件下でコホモロジー加群がねじれ-freeのままであることを証明し、L関数の特別値やセレマー群への応用を可能にする。

ABSTRACT

Under the assumption that Galois representations associated to Siegel modular forms exist (it is known only for genus at most 2), we show that the cohomology with p-adic integral coefficients of Siegel Varieties, when localized at a non-Eisenstein maximal ideal of the Hecke algebra, is torsion-free, provided the prime p is large with the respect to the weight of the coefficient system. The proof uses p-adic Hodge theory, the dual BGG complex modulo p in order to compute the Hodge-Tate weights for the mod p cohomology. We apply this result to the construction of Hida p-adic families for symplectic groups and to the first step in the construction of a Taylor-Wiles system for these groups.

研究の動機と目的

• GSp(2g)に関連するシーゲル多様体に対して、p進整数係数をもつベッチコホモロジー加群におけるねじれの存在を扱う。
• pとレベルに関する特定の条件下で、このようなねじれが非アイゼンシュタイン的で通常のヘッケ代数の極大イデアルに影響しないことを示す。
• コホモロジー加群がねじれ-freeのままである条件を確立し、L関数の特別値やセレマー群への応用を可能にする。
• 自動形式的ベクトル束の標準的拡張とガロア表現を用いて、主要な結果を証明する。
• シミプティック群のためのテイラー＝ワイルズ法に適合するコホモロジー的枠組みを提供し、これを高 genus のシーゲルモジュラー形式へと拡張する。

提案手法

• g ≤ 2 に対して、GSp(2g) 上のコホモロジカルなカスプ形式表現に関連するガロア表現の存在および局所的性質を仮定する。
• 志村多様体のトロイダルコンパクト化上での自動形式的ベクトル束の標準的拡張を用いて、Z_p 上の連接層を定義する。
• デリーニの存在定理およびガウス＝ミン接続を適用し、これらの拡張された層上に可積分接続を構成する。
• GSp(2g) のラングランズ双対としてのスピン群 GSpin_{2g+1} を用いて、自動形式的表現とガロア表現を関連付ける。
• p-小の重みに対して、Z_(p) 上のG-表現のカテゴリの半単純性を用いて、標準的拡張の存在を保証する。
• 自動形式的表現とヘッケ代数作用によるコホモロジーのイデムポテンツ分解を用いて、関連する成分を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 pがレベルと互いに素で、かつ p > d = g(g+1)/2 であるとき、p進整数係数をもつシーゲル多様体のベッチコホモロジーにおけるねじれは、非アイゼンシュタイン的で通常の極大イデアルにおいていつねじれ-freeになるか？
• RQ2 トロイダルコンパクト化上での自動形式的ベクトル束の標準的拡張は、コホモロジーにおけるねじれをどのように制御できるか？
• RQ3 ヘッケ代数の文脈において、ガロア表現がコホモロジー加群のねじれ自由性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 コホモロジー的重み w = |λ + ρ| は、シーゲル多様体のコホモロジーにおけるねじれの挙動を予測するために用いることができるか？
• RQ5 連接コホモロジーとベッチコホモロジーの使用の違いは、随伴L関数の特別値およびセレマー群の研究にどのように影響するか？

主な発見

• pがレベルと互いに素で、かつ p > d = g(g+1)/2 であるとき、p進整数係数をもつシーゲル多様体のベッチコホモロジーにおけるねじれは、非アイゼンシュタイン的で通常の極大イデアルにおいて生じない。
• トロイダルコンパクト化への自動形式的ベクトル束 V_λ^∨ の標準的拡張は、連接的かつ局所自由な O_{X̄}-加群であり、Q_p へのベースチェンジにより有理数的拡張が回復される。
• ガウス＝ミン接続は、拡張された自動形式的束上に可積分接続を誘導し、ホッジフィルトレーションと整合性を持つ。
• ヘッケ代数の非アイゼンシュタイン的で通常の極大イデアルにおいても、コホモロジー加群 H^d(S_U, V_λ(O)) はねじれ-freeのままである。
• この構成は、Frobenius固有値条件を満たすガロア表現 ρ_π: Gal(Q̄/Q) → GL_V(O) の存在に依存しており、これは g ≤ 2 に対して既知である。
• この方法により、ベッチコホモロジーを用いて、随伴L関数の特別値、合同数、および随伴セレマー群の濃度との関係への応用が可能になる。